5. Traitement des cas 2DB et 3DB#

On distingue quatre cas de figure pour le nuage des noeuds «solidifiés»:

  • Volumique: il existe au moins 4 noeuds non coplanaires (à un epsilon près);

  • Plan: il existe au moins 3 noeuds non alignés (à un epsilon près);

  • Segment: il existe au moins 2 noeuds non confondus (à un epsilon près);

  • Ponctuel: tous les noeuds sont géométriquement confondus (à un epsilon près)

La routine qui détermine le cas de figure retourne également les 1, 2, 3 ou 4 noeuds qui permettent de «définir» le solide. Les relations cinématiques que l’on écrit dépendent (assez légèrement) du cas de figure.

Prenons l’exemple du cas «Plan» en 3D.

On dispose de trois noeuds \(A\) , \(B\) , \(C\) non alignés. On écrit que le carré des trois distances \(\mathit{AB}\) , \(\mathit{AC}\) et \(\mathit{BC}\) reste constant lors du mouvement. Ces trois relations sont non-linéaires. Elles sont quadratiques et on peut facilement les dériver pour obtenir le problème linéarisé tangent.

Pour chaque noeud (\(M\) ) différent de \(A\) , \(B\) , \(C\) , on calcule les coordonnées barycentriques \(\alpha\) , \(\beta\) et \(\gamma\) telles que:

(5.1)#\[M=\alpha A+\beta B+\gamma C\]

Puis, on écrit les trois relations linéaires:

(5.2)#\[U(M)=\alpha U(A)+\beta U(B)+\gamma U(C)\]

Au total, si le nuage comporte \(n\ge 3\) noeuds, on écrit:

  • Trois relations quadratiques (facilement linéarisables);

  • \(3(n-3)\) relations linéaires.

Le nuage avait \(\mathrm{3n}\) degrés de liberté. On a écrit \(3n-6\) relations indépendantes. Il lui reste six degrés de liberté, ce qui correspond au nombre de mouvements possibles pour un solide 3D.

Remarques:

  • Pour le cas «segment» en 3D, par exemple, on écrit \(\mathrm{3n}-5\) relations, ce qui veut dire que le solide n’a que cinq mouvements possibles, ce qui est normal car la rotation du solide autour de la droite est indéterminée;

  • Chaque solide n’engendre que peu de relations non-linéaires (au maximum six).