Ce paragraphe veut répondre aux deux questions suivantes:
* Q1: Quel est le système de valeurs (et vecteurs) propres réduit à résoudre lorsqu’un modèle mécanique est soumis à des contraintes cinématiques linéaires homogènes ?
* Q2: Quel est le modèle dualisé (avec paramètres de Lagrange) équivalent ou précédent ?
On suppose un système mécanique déjà discrétisé par éléments finis.
Les inconnues nodales sont notées \(\vector{U}=\left\lbrace {u}_{i}\right \rbrace_{(i=1,n)}\) .
Les déplacements nodaux ne sont pas tous indépendants: il existe \(p < n\) relations linéaires homogènes entre ces déplacements: \(\tensTwo{B}_{j} \, \vector{U} = \vectorZero \text{ pour } j=1,\cdots,p\) .
Ces relations linéaires sont indépendantes entre elles, c’est-à-dire que le rang de la matrice \(\tensTwo{B}\) contenant les coefficients des \(p\) relations linéaires est \(p\).
Soit \(\tensTwo{K}\) la matrice de rigidité du système mécanique sans contraintes. et \(\tensTwo{M}\) la matrice de masse du système mécanique sans contraintes.
Quel est le système aux valeurs propres à résoudre pour trouver les modes propres de la structure contrainte ?
Remarquons que si l’on écrit les relations linéaires cinématiques sous la forme:
\[\tensTwo{B}
\,
\vector{U}
=
\vectorZero\]
où \(\tensTwo{B}\) est une matrice \(p \times n\) et \(\vector{U}\) est le vecteur des inconnues nodales avec \(\vector{U} \in \setR^{n}\).
alors la relation est aussi valable pour les vitesses.
\[\tensTwo{B}
\,
\vector{\dot{U}}
=
\vectorZero\]
De plus, si \(\tensTwo{B}\) est de rang \(p\) , alors il existe une sous-matrice carrée de \(\tensTwo{B}\) de rang \(p\) . Notons \(\tensTwo{B}_{1}\) cette sous-matrice.
Faisons alors une partition des inconnues de \(\vector{U}\) en \(\vector{U}_{1}\) et \(\vector{U}_{2}\) tels que:
avec \(\vector{U}_{1}\in {\setR}^{p}\), \(\vector{U}_{2}\in {\setR}^{n-p}\), \(\tensTwo{B}_{1} \in p \times p\) et \(\tensTwo{B}_{2} \in p \times (n-p)\).
L’énergie de déformation élastique de la structure discrétisée non contrainte est \({W}_{\text{def}}=\frac{1}{2} \left( \transpose{\vector{U}}\tensTwo{K} \, \vector{U} \right)\) . Si l’on partitionne la matrice \(\tensTwo{K}\) de la même manière que l’on a partitionné \(\vector{U}\) , on obtient:
On voit donc que l’on a exprimé l’énergie de déformation de la structure réduite comme une forme bilinéaire de \(\vector{U}_{2}\) . Les inconnues nodales de \(\vector{U}_{1}\)ont été éliminées . Les inconnues nodales \(\vector{U}_{2}\)ne sont plus contraintes .
Le système à résoudre pour trouver les modes (et les fréquences) propres de la structure contrainte consiste à trouver les \((n-p) \left({\vector{X}}_{i},{\omega}_{i}^{2} \right)\in {\setR}^{n-p} \times \setR\) tels que
d’où: \(\tensTwo{\tilde{K}}_{2}=\tensTwo{K}_{2}\) et \(\tensTwo{\tilde{M}}_{2}=\tensTwo{M}_{2}\), c’est-à-dire qu’il suffit « d’oublier » dans \(\tensTwo{K}\) et \(\tensTwo{M}\) les lignes et colonnes correspondant aux degrés de liberté bloqués.
Nous avons vu que la prise en compte des coefficients de Lagrange (doubles) dans une matrice \(\tensTwo{A}\) conduisait à la matrice \(\tensTwo{A}^{\prime}\) :
où \(\tensTwo{B}\) est la matrice des conditions cinématiques (\(\tensTwo{B} \vector{U}=\vectorZero\)) , \(\alpha \in {\setR}^{+}\) arbitraire et \(\alpha \ne 0\), \(\beta \in \setR\) arbitraire et \(\beta \ne 0\).
Appliquons la dualisation des conditions aux limites aux matrices \(\tensTwo{K}\) et \(\tensTwo{M}\) , en partitionnant les degrés de liberté en \(\vector{X}_{1}\) et \(\vector{X}_{2}\) comme au paragraphe précédent. Nous obtenons le problème aux valeurs propres suivant:
avec: \(\tensTwo{\tilde{K}}_{i}=\tensTwo{K}_{i}-{\omega}^{2}\tensTwo{M}_{i}\), \(\beta ={\beta}_{k}-{\omega}^{2}{\beta}_{m}\) et \(\alpha ={\alpha}_{k}-{\omega}^{2}{\alpha}_{m}\).
Le système \((S)\) est d’ordre \(n+2p\) si \(n\) est le nombre de ddls physiques et \(p\) le nombre de relations cinématique .
Le polynôme caractéristique en \({\omega}^{2}\) est a priori de degré \(n+2p\) . Son terme de plus haut degré vaut: \(\prod_{i=1}^{n}(-{m}_{i})\cdot {(+{\alpha}_{m})}^{2p}\) si \({m}_{i}\) est le i-ème terme diagonal de \(\tensTwo{M}\) .
On voit donc que si\({\alpha}_{m} \ne 0\) , le terme de plus haut degré est \(\ne 0\) (car les \({m}_{i}\) sont \(>0\) ) et donc le système dualisé \((S)\) a plus de valeurs propres que le système réduit: \((n-p)\) . Les deux systèmes ne sont donc pas équivalents.
Choisissons \({\alpha}_{m}={\beta}_{m}=0\). Alors on à partir de la troisième et la quatrième équation
On constate que les définitions de \({\tilde{K}}_{2}\) et \({\tilde{M}}_{2}\) sont identiques à celles données par le système non-dualisé.
On voit donc que tout vecteur propre \(\vector{X}_{2}\) du système dualisé est aussi vecteur propre du système réduit (avec la même pulsation propre) si on le projette sur l’espace \(\vector{U}_{2}\). Réciproquement, tout vecteur propre \(\vector{X}_{2}\) du problème réduit peut être prolongé en un vecteur propre du système dualisé \(\transpose{\vector{X}}=\left[\transpose{\vector{X}_{1}},\transpose{\vector{X}_{2}},\transpose{\vector{\lambda}},\transpose{\vector{\lambda}_{2}}\right]\) .
Les deux systèmes sont donc équivalents, ils ont les mêmes modes propres et les mêmes valeurs propres. Le système dualisé, bien que de dimension supérieure au système réduit, n’a pas plus de valeurs propres que le système réduit (la dimension de l’espace propre est la même).
Conclusion
Le système dualisé est équivalent au système réduit dès que l’on choisit \({\alpha}_{m}={\beta}_{m}=0\), c’est‑à‑dire si on prend la matrice de rigidité dualisée mais que l’on ne modifie pas la matrice de masse.
\[\begin{split}\discMatr{K}
=
\left[ \begin{array}{cc}
k & -k\\
-k & k
\end{array} \right]\end{split}\]
\[\begin{split}\discMatr{M}
=
\left[ \begin{array}{cc}
m & 0\\
0 & m
\end{array} \right]\end{split}\]
On lui ajoute la liaison cinématique \(\alpha {u}_{1}+\beta {u}_{2}=0\) avec \(\alpha \ne 0\). Sans cette liaison cinématique, les deux pulsations propres sont \({\omega}^{2}=0\), associée au mode rigide, et \({\omega}^{2}=\frac{2k}{m}\), associée au mode déformable.
On note \(\gamma =\frac{\beta}{\alpha}\).
Les matrices de rigidité du système réduit (par élimination du degré de liberté \({u}_{1}\) ) s’écrivent alors \({K}_{1}=k\), \({K}_{2}=k\) et \({K}_{12} = -k\). Et pour les matrices de masse \({M}_{1}=m\), \({M}_{2}=m\) et \({M}_{12}=0\). On a aussi \({B}_{1}=\alpha\) et \({B}_{2}=\beta\).
On a donc
\[{\tilde{K}}_{2}
=
k \left( 1+\gamma \right)^{2}\]
et
\[{\tilde{M}}_{2}
=
m \left( 1+{\gamma}^{2} \right)\]
On constate que la valeur propre du système contraint \({\tilde{\omega}}^{2}\) dépend du rapport \(\gamma =\frac{\beta}{\alpha}\) et elle respecte bien l’encadrement entre les deux valeurs propres du système non contraint. En effet, on a:
Si \(\gamma =0,{\tilde{\omega}}^{2}=\frac{k}{m}\) (cas du ressort encastré-libre)
Si \(\gamma =1,{\tilde{\omega}}^{2}=\frac{2k}{m}\) (le mode rigide est bloqué)
Si \(\gamma \to \infty ,{\tilde{\omega}}^{2} \to \frac{k}{m}\) (cas du ressort encastré-libre)
Choisissons \(\alpha=\beta=1\) pour simplifier et écrivons le système dualisé :
On constate que l’on retrouve la valeur propre pertinente (la quatrième), mais que l’on trouve aussi trois valeurs propres parasites dues à la non nullité de \({\alpha}_{m}\) et \({\beta}_{m}\) .
Si on choisit \({\alpha}_{m}={\beta}_{m}=0\), le calcul montre que le polynôme caractéristique est de degré 1 et que sa seule solution est :
Si \(\tensTwo{K}\) et \(\tensTwo{M}\) sont les matrices de rigidité et de masse d’un système non-contraint et si les contraintes linéaires peuvent être écrites sous la forme
