1. Écritures variationnelles des équations d’équilibre

1.1. Mécanique

On part de l’écriture différentielle suivante:

(1.1)\[\text{Div}\sigma +r{\text{F}}^{m}=0\]

Nous verrons plus loin que nous adoptons toujours la décomposition \(\sigma =\sigma '+{\sigma}_{p}I\) , où \(\sigma '\) désigne la contrainte effective.

C’est donc à la charge du module d’intégration des équations d’équilibre de faire la somme: \(\sigma =\sigma '+{\sigma}_{p}I\) .

On écrira alors une forme variationnelle de [(1.1)] au temps \({t}^{+}\) .

(1.2)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}^{+}=\sigma {'}^{+}+{\sigma}_{p}^{+}I\\ {\int}_{\Omega}{\sigma}^{+}.\epsilon (\text{v})={\int}_{\Omega}{r}^{+}{\text{F}}^{{m}^{+}}.\text{v}+{\int}_{\partial \Omega }{\text{f}}^{{\mathit{ext}}^{+}}.\text{v}\forall \text{v}\in {U}_{\mathit{ad}}\end{array}\end{split}\]

1.2. Hydraulique

On part de l’écriture différentielle suivante:

(1.3)\[\frac{\mathit{dm}}{\mathit{dt}}+\text{Div}(\text{M})=0\]

On considère qu’il peut y avoir deux constituants, et pour chacun d‘eux deux phases.

Plus précisément, les variables \({m}_{1,}{\text{M}}_{1}\) et \({m}_{2,}{\text{M}}_{2}\) se rapportent chacune à un constituant de masse conservative.

On pose par principe:

\(\begin{array}{c}{m}_{1}={m}_{1}^{1}+{m}_{1}^{2};{\text{M}}_{1}={\text{M}}_{1}^{1}+{\text{M}}_{1}^{2}\\ {m}_{2}={m}_{2}^{1}+{m}_{2}^{2};{\text{M}}_{2}={\text{M}}_{2}^{1}+{\text{M}}_{2}^{2}\end{array}\)

Ce que nous écrirons:

\(\begin{array}{c}{m}_{\mathit{constituant}}=\sum_{\mathit{nb}\mathit{phase}\mathit{du}\mathit{constituant}}{m}_{\mathit{constituant}}^{\mathit{phase}}\\ {\text{M}}_{\mathit{constituant}}=\sum_{\mathit{nb}\mathit{phase}\mathit{du}\mathit{constituant}}{\text{M}}_{\mathit{constituant}}^{\mathit{phase}}\end{array}\)

Dans les applications, on pourrait par exemple avoir:

2 constituants: air et eau

2 phases pour l’eau

1 phase pour l’air

On aurait alors:	\({m}_{1}^{1}\mathit{et}{\text{M}}_{1}^{1}\) : apport de masse et flux d’eau liquide
	\({m}_{1}^{2}\mathit{et}{\text{M}}_{1}^{2}\) : apport de masse et flux de vapeur
	\({m}_{2}^{1}\mathit{et}{\text{M}}_{2}^{1}\) : apport de masse et flux d’air sec
	\({m}_{2}^{2}\mathit{et}{\text{M}}_{2}^{2}\) : inexistants

On considère qu’il y a deux pressions. Aucune hypothèse n’est faite sur ce que signifient les pressions \({p}_{1}\mathit{et}{p}_{2}\) , cela dépendra des lois de comportement et de la façon que l’on choisira de les écrire: on pourrait par exemple choisir:

\(\begin{array}{c}{p}_{1}=\mathit{pression}\mathit{capillaire}(p(\mathit{gaz})-p(\mathit{liquide}))\\ {p}_{2}=\mathit{pression}\mathit{de}\mathit{gaz}(\mathit{vapeur}+\mathit{gaz})\end{array}\)

On écrira alors une forme variationnelle de [(1.3)].

(1.4)\[-{\int}_{\Omega}d\frac{({m}_{1}^{1}+{m}_{1}^{2})}{\mathit{dt}}{\pi}_{1}+{\int}_{\Omega}({\text{M}}_{1}^{1}+{\text{M}}_{1}^{2}).\nabla {\pi}_{1}={\int}_{\partial \Omega }({\text{M}}_{\mathrm{1ext}}^{1}+{\text{M}}_{\mathrm{1ext}}^{2}).{\pi}_{1}\forall {\pi}_{1}\in {P}_{\mathrm{1ad}}\]

(1.5)\[-{\int}_{\Omega}d\frac{({m}_{2}^{1}+{m}_{2}^{2})}{\mathit{dt}}{\pi}_{2}+{\int}_{\Omega}({\text{M}}_{2}^{1}+{\text{M}}_{2}^{2}).\nabla {\pi}_{2}={\int}_{\partial \Omega }({\text{M}}_{\mathrm{2ext}}^{1}+{\text{M}}_{\mathrm{2ext}}^{2}).{\pi}_{2}\forall {\pi}_{2}\in {P}_{\mathrm{1ad}}\]

Après discrétisation par une theta méthode:

(1.6)\[\begin{split}\begin{array}{c}-{\int}_{\Omega}({m}_{1}^{1+}+{m}_{1}^{2+}){\pi}_{1}+\theta \Delta t{\int}_{\Omega}({\text{M}}_{1}^{1+}+{\text{M}}_{1}^{2+}).\nabla {\pi}_{1}=\\ -{\int}_{\Omega}({m}_{1}^{1-}+{m}_{1}^{2-}){\pi}_{1}-(1-\theta )\Delta t{\int}_{\Omega}({\text{M}}_{1}^{1-}+{\text{M}}_{1}^{2-}).\nabla {\pi}_{1}\\ +\Delta t{\int}_{\partial \Omega }({\text{M}}_{1\mathit{ext}}^{1\theta }+{\text{M}}_{\mathrm{1ext}}^{2\theta }).{\pi}_{1}\forall {\pi}_{1}\in {P}_{\mathrm{1ad}}\end{array}\end{split}\]

(1.7)\[\begin{split}\begin{array}{c}-{\int}_{\Omega}({m}_{2}^{1+}+{m}_{2}^{2+}){\pi}_{2}+\theta \Delta t{\int}_{\Omega}({\text{M}}_{2}^{1+}+{\text{M}}_{2}^{2+}).\nabla {\pi}_{2}=\\ -{\int}_{\Omega}({m}_{2}^{1-}+{m}_{2}^{2-}){\pi}_{2}-(1-\theta )\Delta t{\int}_{\Omega}({\text{M}}_{2}^{1-}+{\text{M}}_{2}^{2-}).\nabla {\pi}_{2}\\ +\Delta t{\int}_{\partial \Omega }({\text{M}}_{2\mathit{ext}}^{1\theta }+{\text{M}}_{\mathrm{2ext}}^{2\theta }).{\pi}_{2}\forall {\pi}_{2}\in {P}_{\mathrm{2ad}}\end{array}\end{split}\]

Remarque:

Dans le cadre de la modélisation HM permanente saturée, le terme \(\frac{{\mathit{dm}}_{1}^{1}}{\mathit{dt}}\) disparaît de l’écriture de la conservation de la masse fluide. Cette dernière s’écritsimplement :

\(\text{Div}({\text{M}}_{1}^{1})=0\)

La forme variationnelle correspondante s’écrit:

\({\int}_{\Omega}{\text{M}}_{1}^{1}.\nabla {\pi}_{1}={\int}_{\partial \Omega }{\text{M}}_{\mathrm{1ext}}^{1}.{\pi}_{1}\forall {\pi}_{1}\in {P}_{\mathrm{1ad}}\)

1.3. Thermique

Nous introduisons les enthalpies de chaque phase de chaque constituant: \({h}_{cm}^{p}\)

Nous notons: \({\mathit{np}}_{c}\) le nombre de phases du constituant c.

Nous adoptons la règle de sommation des indices muets:

\({h}_{cm}^{p}{\text{M}}_{c}^{p}=\sum_{i=1}^{{\mathit{np}}_{c}}{h}_{\mathit{cm}}^{i}{\text{M}}_{c}^{i}\) \({h}_{cm}^{p}\frac{{\mathit{dm}}_{c}^{p}}{\mathit{dt}}=\sum_{i=1}^{{\mathit{np}}_{c}}{h}_{\mathit{cm}}^{i}\frac{{\mathit{dm}}_{c}^{i}}{\mathit{dt}}\)

L’équation de thermique (ou d’énergie) s’écrit:

(1.8)\[\frac{\mathit{dQ}'}{\mathit{dt}}+{h}_{cm}^{p}\frac{{\mathit{dm}}_{c}^{p}}{\mathit{dt}}+\text{Div}({h}_{cm}^{p}{\text{M}}_{c}^{p}+\text{q})=R+{\text{M}}_{c}^{p}.{\text{F}}^{m}\]

On écrira alors une forme variationnelle de [(1.8)] sans y injecter l’équation d’équilibre hydraulique:

(1.9)\[\begin{split}`\begin{array}{c}{\int}_{\Omega}\frac{\mathit{dQ}'}{\mathit{dt}}\tau +{\int}_{\Omega}{h}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p}\frac{{\mathit{dm}}_{c}^{p}}{\mathit{dt}}\tau -{\int}_{\Omega}({h}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p}{\text{M}}_{c}^{p}+\text{q}).\nabla \tau ={\int}_{\Omega}(R+{\text{M}}_{c}^{p}.\text{F})\tau -{\int}_{\partial \Omega }({h}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p}{\text{M}}_{c\mathit{ext}}^{p}+{\text{q}}_{\mathit{ext}}).\tau \\ \phantom{\rule{18em}{0ex}}\forall \tau \in {T}_{\mathit{ad}}\hfill \end{array}\end{split}\]

La discrétisation de [(1.9)] par theta méthode conduit à:

(1.10)\[\begin{split}\begin{array}{c}{\int}_{\Omega}(Q{'}^{+}-Q{'}^{-})\tau -\theta \Delta t{\int}_{\Omega}(({h}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p+}{\text{M}}_{c}^{p+}+{\text{q}}^{+}))\nabla \tau (1-\theta )\Delta t{\int}_{\Omega}(({h}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p-}{\text{M}}_{c}^{p-}+{\text{q}}^{-}))\nabla \tau +\dots \\ +\theta {\int}_{\Omega}{h}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p+}({m}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p+}-{m}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p-})\tau +(1-\theta ){\int}_{\Omega}{h}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p-}({m}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p+}-{m}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p-})\tau \phantom{\rule{4em}{0ex}}=\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\\ \theta \Delta t{\int}_{\Omega}{\text{M}}_{c}^{p+}.{\text{F}}^{m}\tau +(1-\theta )\Delta t{\int}_{\Omega}{\text{M}}_{c}^{p-}.{\text{F}}^{m}\tau +\Delta t{\int}_{\Omega}{R}^{\theta}\tau -\Delta t{\int}_{\Omega}({h}_{c\phantom{\rule{2em}{0ex}}m}^{p}{\text{M}}_{\mathit{ext}}^{p\theta }+{\text{q}}_{\mathit{ext}}^{\theta}).\tau \\ \phantom{\rule{20em}{0ex}}\forall \tau \in {T}_{\mathit{ad}}\hfill \end{array}\end{split}\]

On remarque dans l’équation [(1.10)] un terme d’apport de chaleur par le flux de fluide au bord du domaine: \({\int}_{\partial \Omega }({h}_{cm}^{p}{\text{M}}_{c\mathit{ext}}^{p\theta }+{\text{q}}_{\mathit{ext}}^{\theta}).\tau\) .

On pourra en fait considérer que les conditions de flux thermiques définissent directement:

\(\stackrel{̃}{\text{q}}{}_{\mathit{ext}}^{\theta}={h}_{cm}^{p}{\text{M}}_{c\mathit{ext}}^{p\theta }+{\text{q}}_{\mathit{ext}}^{\theta}\)