2. Lois de comportement

2.1. Mécanique

2.1.1. Ecriture générale

\(\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}^{+}={\sigma}^{+}({\epsilon}^{+},{p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+},{T}^{+};{\epsilon}^{-},{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{T}^{-},{\sigma}^{-},{\chi }^{-})\\ {\chi }^{+}={\chi }^{+}({\epsilon}^{+},{p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+},{T}^{+};{\epsilon}^{-},{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{T}^{-},{\sigma}^{-},{\chi }^{-})\end{array}\) éq 2.1.1-1

2.1.2. Cas des contraintes effectives

Dans le cas de l’hypothèse des contraintes effectives, cette fonction se décomposera sous la forme:

\(\begin{array}{c}\sigma =\sigma '+{\sigma}_{p}I\\ \sigma '\text{est le tenseur des contraintes effectives:}\\ {\sigma}_{p}\text{est un scalaire}\end{array}\)

\(\lbrace \begin{array}{c}\sigma {'}^{+}=\sigma {'}^{+}({\epsilon}^{+},{T}^{+};{\epsilon}^{-},{T}^{-},\sigma {'}^{-},{\chi }_{\sigma}^{-})\\ {\chi }_{\sigma}^{+}={\chi }_{\sigma}^{+}({\epsilon}^{+},{T}^{+};{\epsilon}^{-},{T}^{-},\sigma {'}^{-},{\chi }_{\sigma}^{-})\end{array}\) éq 2.1.2-1

\(\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{p}^{+}={\sigma}_{p}^{+}({p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+};{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{\chi }_{H}^{-})\\ {\chi }_{H}^{+}={\chi }_{H}^{+}({p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+};{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{\chi }_{H}^{-})\end{array}\) éq 2.1.2-2

On remarque que dans cette décomposition:

1. la dépendance par rapport à la thermique a été laissée dans les contraintes effectives; typiquement, on pense que les lois sur les contraintes effectives s’écrivent comme en thermo mécanique classique:

\(\sigma {'}^{+}=\sigma {'}^{+}({\epsilon}^{+}-{\alpha}^{+}{T}^{+};{\epsilon}^{-}-{\alpha}^{-}{T}^{-},\sigma {'}^{-},{\chi }_{\sigma}^{-})\)

1. on a distingué les variables internes relatives à la loi de comportement sur les contraintes effectives, que l’on a écrites \({\chi }_{\sigma}\) , les variables internes d’origine hydraulique que l’on a écrites \({\chi }_{H}\) et les variables internes d’origine thermique que l’on a écrites \({\chi }_{T}\) (voir paragraphes suivants).

2.1.3. Choix des contraintes

Du fait de l’utilisation assez fréquente de l’hypothèse des contraintes effectives, on décide que le vecteur des contraintes pour la partie mécanique contient dans tous les cas le tenseur des contraintes effectives \(\sigma '\) et le scalaire \({\sigma}_{p}\) . Dans le cas général où l’hypothèse des contraintes effectives n’est pas retenue, on aura simplement: . \({\sigma}_{p}=0\)

C’est donc à la charge du module d’intégration des équations d’équilibre de faire la somme: \(\sigma =\sigma '+{\sigma}_{p}I\) .

2.2. Hydraulique

La loi de comportement hydraulique fournira les relations suivantes:

\(\lbrace \begin{array}{c}{m}_{c}^{p+}={m}_{c}^{p+}({\epsilon}^{+},{p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+},{T}^{+};{\epsilon}^{-},{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{T}^{-},{m}_{d}^{q-},{\text{M}}_{d}^{q-},{\mathrm{\chi }}_{H}^{-})\\ {\text{M}}_{c}^{p+}={\text{M}}_{c}^{p+}\left(\begin{array}{c}{\epsilon}^{+},{p}_{1}^{+},\nabla {p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+},\nabla {p}_{2}^{+},{T}^{+},\nabla {T}^{+};\\ {\epsilon}^{-},{p}_{1}^{-},\nabla {p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},\nabla {p}_{2}^{-},{T}^{-},\nabla {T}^{-},{\text{M}}_{d}^{q-},{\mathrm{\chi }}_{H}^{-}:{\text{F}}^{m+}\end{array}\right)\\ {\mathrm{\chi }}_{H}^{+}={\mathrm{\chi }}_{H}^{+}({\epsilon}^{+},{p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+},{T}^{+};{\epsilon}^{-},{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{T}^{-},{m}_{1}^{-},{m}_{2}^{-},{\mathrm{\chi }}_{H}^{-})\end{array}\begin{array}{c}\phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}\end{array}\rbrace \forall c\mathit{et}\forall p\phantom{\rule{2em}{0ex}}\mathit{de}1à{\mathit{np}}_{c}\) éq 2.2-1

On remarque que le champ de gravité est une donnée de la loi de comportement hydraulique par ce que l’évolution du vecteur de flux suit des relations du type: \(\text{M}={\lambda}_{H}{\rho}^{\mathit{fl}}[-\nabla P+{\rho}^{\mathit{fl}}{\text{F}}^{m}]\) .

2.3. Thermique

Les lois de comportement fourniront:

\(\begin{array}{c}\lbrace \begin{array}{c}Q{'}^{+}=Q{'}^{+}({\epsilon}^{+},{p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+},{T}^{+};{\epsilon}^{-},{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{T}^{-},S{'}^{-})\\ {h}_{cm}^{p+}={h}_{cm}^{p+}({\epsilon}^{+},{p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+},{T}^{+};{\epsilon}^{-},{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{T}^{-},{s}_{\mathit{dm}}^{q-})\forall c\mathit{et}\forall p\mathit{de}1à{\mathit{np}}_{c}\\ {\text{q}}^{+}={\text{q}}^{+}({\epsilon}^{+},{p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+},{T}^{+},\nabla {T}^{+};{\epsilon}^{-},{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{T}^{-},\nabla {T}^{-},{\text{q}}^{-})\\ {\chi }_{T}^{+}={\chi }_{T}^{+}({\epsilon}^{+},{p}_{1}^{+},{p}_{2}^{+},{T}^{+},\nabla {T}^{+};{\epsilon}^{-},{p}_{1}^{-},{p}_{2}^{-},{T}^{-},\nabla {T}^{-},{\chi }_{T}^{-})\end{array}\\ \text{Avec}{h}_{\mathit{dm}}^{q-}=({h}_{\mathrm{1m}}^{1-},{h}_{\mathrm{1m}}^{2-},{h}_{\mathrm{2m}}^{1-},{h}_{\mathrm{2m}}^{2-})\end{array}\) éq 2.3-1

2.4. Masse volumique homogénéisée

\({r}^{+}={r}_{0}+{m}_{1}^{1+}+{m}_{1}^{2+}+{m}_{2}^{1+}+{m}_{2}^{2+}\) éq 2.4-1