1. Problème de référence#
1.1. Modélisation A#
L’analyse consiste à déterminer le critère de CROSSLAND et le critère de DANG VAN‑PAPADOPOULOS en un point d’une structure soumise à un chargement multiaxial périodique radial.
Critère de CROSSLAND :
\({\tau}_{a}+a{P}_{max}-b\le 0\) où:
\(\begin{array}{cc}{\tau}_{a}=\frac{1}{2}\underset{0\le {t}_{0}\le T}{\mathit{Max}}\underset{0\le {t}_{1}\le T}{\mathit{Max}}∥\tilde{s}({t}_{1})-\tilde{s}({t}_{0})∥=& \frac{1}{2}\underset{0\le {t}_{0}\le T}{\mathit{Max}}\underset{0\le {t}_{1}\le T}{\mathit{Max}}\sqrt{\frac{1}{2}({\tilde{s}}_{11}^{2}+{\tilde{s}}_{22}^{2}+{\tilde{s}}_{33}^{2}+2{\tilde{s}}_{12}^{2}+2{\tilde{s}}_{13}^{2}+2{\tilde{s}}_{23}^{2})}\\ \text{amplitude de scission}& \text{avec}\tilde{s}\text{déviateur du tenseur des contraintes}\sigma \end{array}\)
\({P}_{max}=\underset{0\le t\le T}{\mathit{Max}}(\frac{1}{3}\mathit{trace}(\sigma ))=\) pression hydrostatique maximale
\(a=({\tau}_{0}-\frac{{d}_{0}}{\sqrt{3}})/\frac{{d}_{0}}{3}\) et \(b={\tau}_{0}\)
avec \({\tau}_{0}\) = limite d’endurance en cisaillement pur alterné
\({d}_{0}\) = limite d’endurance en traction-compression pure alternée
Le critère est : \(\mathrm{Rcrit}={\tau}_{a}+a{P}_{\max}-b\)
Si \(\mathrm{Rcrit}\) est négatif ou nul, il n’y a pas de dommage. Si \(\mathrm{Rcrit}\) est positif, il est susceptible d’y avoir du dommage.
Critère de DANG VAN-PAPADOPOULOS :
\({K}^{\text{*}}+a{P}_{max}-b\le 0\)
où \({K}^{\text{*}}=R/\sqrt{2}\) où \(R\) rayon de la plus petite sphère circonscrite au trajet de chargement dans l’espace des déviateurs de contraintes \(\tilde{s}\) .
\(R=\underset{0\le t\le T}{\mathit{Max}}\sqrt{(\tilde{s}(t)-{C}^{\text{*}}):(\tilde{s}(t)-{C}^{\text{*}})}\) où \({C}^{\text{*}}\) est le centre de l’hypersphère
\({C}^{\text{*}}=\underset{C\epsilon K}{\mathit{Min}}\underset{0\le t\le T}{\mathit{Max}}\sqrt{(\tilde{s}(t)-C):(\tilde{s}(t)-C)}\)
\({P}_{max}=\underset{0\le t\le T}{\mathit{Max}}(\frac{1}{3}\mathit{trace}(\sigma ))=\) pression hydrostatique maximale
\(a=({\tau}_{0}-\frac{{d}_{0}}{\sqrt{3}})/(\frac{{d}_{0}}{3})\) et \(b={\tau}_{0}\)
avec \({\tau}_{0}\) = limite d’endurance en cisaillement pur alterné
\({d}_{0}\) = limite d’endurance en traction-compression pure alternée
Le critère est : \({R}_{\mathit{crit}}={K}^{\text{*}}+a{P}_{max}-b\)
Si \(\mathit{Rcrit}\) est négatif ou nul, il n’y a pas de dommage. Si \(\mathrm{Rcrit}\) est positif, il est susceptible d’y avoir du dommage.
1.1.1. Propriétés de matériaux#
\({\tau}_{0}\) = limite d’endurance en cisaillement pur alterné = \(352.\mathit{MPa}\)
\({d}_{0}\) = limite d’endurance en traction-compression pure alternée = \(540.97\mathit{MPa}\)
1.1.2. Histoire du chargement#
\(t\) |
|||
\({\sigma}_{xx}(t)\) |
–411. |
||
\({\sigma}_{xy}(t)\) |
–205. |
||
\({\sigma}_{yy}(t)={\sigma}_{zz}(t)={\sigma}_{xz}(t)={\sigma}_{yz}(t)\) |
Le chargement est considéré périodique.
1.2. Modélisation B#
Les propriétés de matériaux et l’histoire de chargement sont identiques et obtenues à partir des cas-tests SSLV135A.
1.3. Modélisation C#
Les propriétés de matériaux et l’histoire de chargement sont identiques et obtenues à partir des cas-test SSLV135E .
1.4. Modélisation D#
Les propriétés de matériaux et l’histoire de chargement sont identiques et obtenues à partir du cas-test SSLV135F .
1.5. Modélisation E#
Les propriétés de matériaux et l’histoire de chargement sont identiques et obtenues à partir des cas-test SSLV135B.
1.6. Modélisation F#
Les propriétés de matériaux et l’histoire de chargement sont identiques et obtenues à partir des cas- test SSLV135G
1.7. Modélisation G#
Les propriétés de matériaux et l’histoire de chargement sont identiques et obtenues à partir des cas- test SSLV135H et SSLV135A