2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Solution analytique

  • calcul des contraintes et déformations. Pour un chargement en traction simple, on obtient un état de contrainte uniaxial homogène en tout point :

\(\sigma =\left[\begin{array}{ccc}\sigma & 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\) et \(\varepsilon =\left[\begin{array}{ccc}\varepsilon & 0& 0\\ 0& \gamma & 0\\ 0& 0& \gamma \end{array}\right]\)

les grandeurs équivalentes sont donc \(\lbrace \begin{array}{}{\sigma}_{\mathrm{VMIS}}=\mid \sigma \mid ={\sigma}_{\mathrm{TRESCA}}\\ {\sigma}_{\mathrm{VMIS}-\mathrm{SG}}=\sigma \end{array}\)

et \(\lbrace \begin{array}{}{\varepsilon}_{\mathrm{INVA}-2}=\frac{2}{3}\mid \varepsilon -\gamma \mid \\ {\varepsilon}_{\mathrm{INVA}-\mathrm{2SG}}=\frac{2}{3}\mid \varepsilon -\gamma \mid \ast \mathrm{sign}\left[\frac{\varepsilon +2\gamma }{3}\right]\end{array}\)

  • puis calcul manuel des cycles par la méthode de RAINFLOW, ainsi que des amplitudes de chargement (\(\frac{\Delta \sigma }{2}\) ou \(\frac{\Delta \varepsilon }{2}\) ).

cycles

\(\Delta \sigma /2\)

\(\Delta {\varepsilon}_{\mathrm{INVA}-2}/2\)

1 2 3 4

1. 0.5 1. 3.5

0.8667 0.433315 0.8667 3.03335

  • enfin report de ces valeurs sur les courbes de Wöhler ou de Manson-Coffin pour estimer le dommage unitaire à chaque cycle \(i\) , soit \({\mathrm{Du}}_{i}=\frac{1}{{N}_{i}}\) ( \({N}_{i}\) étant le nombre de cycles à rupture pour une amplitude donnée), ainsi que le dommage cumulé \(D=\underset{i}{\Sigma}D{u}_{i}\) (règle de cumul linéaire de MINER).

Remarque :

On utilisera comme contrainte équivalente \({\sigma}_{\mathrm{VMIS}-\mathrm{SG}}\) et comme déformation équivalente \({\varepsilon}_{\mathit{INVA}-\mathrm{2SG}}=\frac{2}{3}\mid \varepsilon -\gamma \mid \times \mathit{sign}\left[\frac{\varepsilon +2\gamma }{3}\right]\) .

2.2. Résultats de référence#

  • Étant donné les valeurs des paramètres de chargement utilisé, on obtient simplement en fin de chargement (incrément 8) \(\sigma =-3.\) \(\varepsilon =-3.\) \(\gamma =0.9\) \({\varepsilon}_{\mathit{INVA}-2}=2.6\) .

  • Pour le calcul du dommage, on obtient:

\({D}_{\mathit{Wöhler}}=4,8133.{10}^{-3}=\underset{i=1}{\overset{4}{\Sigma}}D{u}_{i}\)

\({D}_{\mathit{Manson}}=4,67.{10}^{-3}=\underset{i=1}{\overset{4}{\Sigma}}D{u}_{i}\)

2.3. Références bibliographiques#

  1. DOWNING et SOCIE, 1982. « Simple Rainflow counting algorithms ». Int. J.Fatigue, janvier1982 (p.31).