Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Solution analytique


*   calcul des contraintes et déformations. Pour un chargement en traction simple, on obtient un état de contrainte uniaxial homogène en tout point :

:math:`\sigma =\left[\begin{array}{ccc}\sigma & 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]` et :math:`\varepsilon =\left[\begin{array}{ccc}\varepsilon & 0& 0\\ 0& \gamma & 0\\ 0& 0& \gamma \end{array}\right]`

les grandeurs équivalentes sont donc :math:`\lbrace \begin{array}{}{\sigma}_{\mathrm{VMIS}}=\mid \sigma \mid ={\sigma}_{\mathrm{TRESCA}}\\ {\sigma}_{\mathrm{VMIS}-\mathrm{SG}}=\sigma \end{array}`

et :math:`\lbrace \begin{array}{}{\varepsilon}_{\mathrm{INVA}-2}=\frac{2}{3}\mid \varepsilon -\gamma \mid \\ {\varepsilon}_{\mathrm{INVA}-\mathrm{2SG}}=\frac{2}{3}\mid \varepsilon -\gamma \mid \ast \mathrm{sign}\left[\frac{\varepsilon +2\gamma }{3}\right]\end{array}`


*   puis calcul manuel des cycles par la méthode de RAINFLOW, ainsi que des amplitudes de chargement (:math:`\frac{\Delta \sigma }{2}`  ou :math:`\frac{\Delta \varepsilon }{2}` ).


.. csv-table::

    "cycles", ":math:`\Delta \sigma /2`", ":math:`\Delta {\varepsilon}_{\mathrm{INVA}-2}/2`"
    "1
    2
    3
    4", "1.
    0.5
    1.
    3.5", "0.8667
    0.433315
    0.8667
    3.03335"



*   enfin report de ces valeurs sur les courbes de Wöhler ou de Manson-Coffin pour estimer le dommage unitaire à chaque cycle :math:`i` , soit :math:`{\mathrm{Du}}_{i}=\frac{1}{{N}_{i}}` ( :math:`{N}_{i}` étant le nombre de cycles à rupture pour une amplitude donnée), ainsi que le dommage cumulé :math:`D=\underset{i}{\Sigma}D{u}_{i}` (règle de cumul linéaire de MINER).

**Remarque :**

*On utilisera comme contrainte équivalente* :math:`{\sigma}_{\mathrm{VMIS}-\mathrm{SG}}` *et comme déformation équivalente* :math:`{\varepsilon}_{\mathit{INVA}-\mathrm{2SG}}=\frac{2}{3}\mid \varepsilon -\gamma \mid \times \mathit{sign}\left[\frac{\varepsilon +2\gamma }{3}\right]` *.*


Résultats de référence
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*   Étant donné les valeurs des paramètres de chargement utilisé, on obtient simplement en fin de chargement (incrément 8) :math:`\sigma =-3.` :math:`\varepsilon =-3.` :math:`\gamma =0.9` :math:`{\varepsilon}_{\mathit{INVA}-2}=2.6` .


*   Pour le calcul du dommage, on obtient:

:math:`{D}_{\mathit{Wöhler}}=4,8133.{10}^{-3}=\underset{i=1}{\overset{4}{\Sigma}}D{u}_{i}`

:math:`{D}_{\mathit{Manson}}=4,67.{10}^{-3}=\underset{i=1}{\overset{4}{\Sigma}}D{u}_{i}`

Références bibliographiques
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1.  DOWNING et SOCIE, 1982. "Simple Rainflow counting algorithms". Int. J.Fatigue, janvier1982 (p.31).