2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Calcul analytique:

On va supposer que les mouvements des cylindres et du fluide sont essentiellement plans. Les effets longitudinaux seront négligés devant les effets transversaux. Le problème est bidimensionnel. Compte tenu de la symétrie, le repère utilisé est un repère cylindrique \((r,\theta )\) lié au cylindre central (voir figure ci-dessus). Dans ce système de coordonnées et avec cette géométrie particulière, la dérivée normale \(\frac{\partial .}{\partial n}\) est égale à la dérivée \(\frac{\partial .}{\partial r}\) par rapport à \(r\) .

Dans toute cette partie, la variable \(p\) désigne le champ de pression hydrodynamique dans le fluide créé par les vibrations propres des structures, \({X}_{1/2}\) désigne les modes propres du cylindre \(1\) ou \(2\) respectivement.

Les modes propres des coques de frontière \(({\Gamma}_{1})\) et \(({\Gamma}_{2})\) en l’absence de fluide sont de la forme (\(n\) désigne l’ordre du mode):

\({X}_{\mathrm{1n}}(r)=\lbrace \begin{array}{}\cosn\theta \text{ou}\sinn\theta \\ 0\end{array}\) et \({X}_{\mathrm{2n}}(r)=\lbrace \begin{array}{}0\\ \cosn\theta \text{ou}\sinn\theta \end{array}\)

\(\theta\) est l’angle azimutal. Ces modes sont découplés bien entendu. La première composante correspond au déplacement normal de la coque intérieure, la deuxième à celui de la coque extérieure. Dans le volume fluide, on a donc deux problèmes à résoudre:

\(\Delta {p}_{\mathrm{1n}}=0\) \({(\frac{\partial {p}_{\mathrm{1n}}}{\partial n})}_{{\Gamma}_{1}}=-{\rho}_{f}\lbrace \begin{array}{}\cosn\theta \\ \text{ou}\\ \sinn\theta \end{array}\) \({(\frac{\partial {p}_{\mathrm{1n}}}{\partial n})}_{{\Gamma}_{2}}=0\) éq 2.1-1

et:

\(\Delta {p}_{\mathrm{2n}}=0\) \({(\frac{\partial {p}_{\mathrm{2n}}}{\partial n})}_{{\Gamma}_{1}}=0\) \({(\frac{\partial {p}_{\mathrm{2n}}}{\partial n})}_{{\Gamma}_{2}}=-{\rho}_{f}\lbrace \begin{array}{}\cosn\theta \\ \text{ou}\\ \sinn\theta \end{array}\) éq 2.1-2

Le champ \({p}_{\mathrm{1n}}\) correspond au champ de pression engendré dans le fluide si la coque centrale \({\Gamma}_{1}\) vibre seule, le champ \({p}_{\mathrm{2n}}\) est celui créé par la coque externe \({\Gamma}_{2}\) si elle vibre seule. La linéarité de l’équation de Laplace permet de résoudre indépendamment chaque problème et ensuite de les superposer pour trouver le champ de pression total.

La solution du problème [éq2.1-1] est, en coordonnées polaires, du type [bib1]:

\({p}_{\mathrm{1n}}(r,\theta )=\left\lbrace A{r}^{n}+B{(\frac{1}{r})}^{n}\right\rbrace \left\lbrace \begin{array}{}\cosn\theta \\ \text{ou}\\ \sinn\theta \end{array}\right\rbrace\)

On doit avoir \(n\ne 0\) , car sinon on a la non-conservation du volume du fluide.

Les constantes \(A\) et \(B\) sont déterminées par les conditions aux limites:

\({(\frac{\partial {p}_{\mathrm{1n}}}{\partial n})}_{{R}_{1}}=-{\rho}_{f}\left\lbrace \begin{array}{}\cosn\theta \\ \text{ou}\\ \sinn\theta \end{array}\right\rbrace\) et \({(\frac{\partial {p}_{\mathrm{1n}}}{\partial n})}_{{R}_{2}}=0\)

On trouve alors que le champ de pression pour chacun des deux problèmes s’écrit:

\({p}_{\mathrm{1n}}(r,\theta )=\frac{{\rho}_{f}{R}_{1}}{n}\frac{{(r/{R}_{1})}^{n}+{({R}_{2}/{R}_{1})}^{n}{({R}_{2}/r)}^{n}}{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{\mathrm{2n}}-1}\left\lbrace \begin{array}{}\cosn\theta \\ \text{ou}\\ \sinn\theta \end{array}\right\rbrace\)

et:

\({p}_{\mathrm{2n}}(r,\theta )=\frac{{\rho}_{f}{R}_{2}}{n}\frac{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{n}{(r/{R}_{1})}^{n}+{({R}_{2}/r)}^{n}}{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{\mathrm{2n}}-1}\left\lbrace \begin{array}{}\cosn\theta \\ \text{ou}\\ \sinn\theta \end{array}\right\rbrace\)

Les coefficients de masse ajoutée modaux \({m}_{\mathrm{ijnm}}^{A}\) se calculent à partir de la formule suivante [R4.07.03] si \(i=1\) ou \(2\) , \(j=1\) ou \(2\) , \((n,m)\) appartient à \({i}^{2}\) .

\({m}_{\mathrm{ijnm}}^{A}={\int}_{{\Gamma}_{j}}{p}_{\mathrm{jn}}{X}_{\text{im}}(r).n({\Gamma}_{j})d{\Gamma}_{j}\)

L’indexation est ici un peu plus complexe que dans la formule présentée en [R4.07.03]: les indices i et j font référence aux coques

et

, et les indices \(m\) et \(n\) sont associés aux modes de coque. On remarque qu’il y a couplage des modes des différentes coques, externe et interne.

On remarque, d’une part, que le fluide ne couple pas les modes d’indices \(n\) différents car les intégrales \({\int}_{\Gamma}\cosn\theta \cosm\theta d\Gamma\) s’annulent ; d’autre part, le fluide ne couple pas non plus les modes \(\cosn\theta\) et \(\sinn\theta\) car \({\int}_{(\Gamma )}\cosn\theta \sinn\theta d\Gamma =0\) . Le seul couplage existant est un couplage entre les deux coques pour les modes de même nature.

A chaque mode \(n\) , on associe une matrice d’ordre 4 symétrique. Une sous-matrice correspondant à la projection sur le mode \(n\) s’écrit:

\({M}_{1}^{A}=(\begin{array}{cc}{m}_{\mathrm{11nn}}^{A}& {m}_{\mathrm{12nn}}^{A}\\ {m}_{\mathrm{21nn}}^{A}& {m}_{\mathrm{22nn}}^{A}\end{array})\)

La matrice globale s’écrit: \(\left[\begin{array}{cc}{M}_{1}^{A}& 0\\ 0& {M}_{2}^{A}\end{array}\right]\) avec \({M}_{1}^{A}={M}_{2}^{A}\)

avec \({m}_{\mathrm{11nn}}^{A}=L{R}_{1}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}{p}_{1}({R}_{1,}\theta )\left\lbrace \begin{array}{}\cosn\theta \\ \text{ou}\\ \sinn\theta \end{array}\right\rbrace d\theta\)

Soit:

\({m}_{\mathrm{11nn}}^{A}=\frac{\pi}{n}{\rho}_{f}{R}_{1}^{2}L\frac{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{\mathrm{2n}}+1}{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{\mathrm{2n}}-1}\) éq 2.1-3

on obtiendra:

\({m}_{\mathrm{22nn}}^{A}=\frac{\pi}{n}{\rho}_{f}{R}_{2}^{2}L\frac{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{\mathrm{2n}}+1}{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{\mathrm{2n}}-1}\) éq 2.1-4

et:

\({m}_{\mathrm{21nn}}^{A}={m}_{\mathrm{12nn}}^{A}=-\frac{\pi}{n}{\rho}_{f}{R}_{1}{R}_{2}L\frac{2({R}_{2}/{R}_{1})}{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{\mathrm{2n}}-1}\) éq 2.1-5

\(L\) désigne ici la hauteur des coques cylindres dans la direction longitudinale.

Dans notre cas, on ne considère que les modes d’ordre \(n=1\) des coques : ils correspondent respectivement aux modes de translation de chacune des coques suivant un axe passant par le centre du tube central : on prend ceux correspondant à l’axe \(\mathrm{Ox}\) arbitrairement : les coefficients de masse ajoutée linéique s’écrivent:

\({m}_{11}^{A}=\pi {\rho}_{f}{R}_{1}^{2}\frac{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{2}+1}{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{2}-1}\)

\({m}_{22}^{A}=\pi {\rho}_{f}{R}_{2}^{2}\frac{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{2}+1}{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{2}-1}\)

\({m}_{21}^{A}={m}_{12}^{A}=-\pi {\rho}_{f}{R}_{1}{R}_{2}\frac{2({R}_{2}/{R}_{1})}{{({R}_{2}/{R}_{1})}^{2}-1}\)

L’équation du mouvement généralisé des deux coques couplées s’écrit:

\((\begin{array}{cc}{m}_{1}& 0\\ 0& {m}_{2}\end{array})(\begin{array}{}{\ddot{x}}_{1}\\ {\ddot{x}}_{2}\end{array})+(\begin{array}{cc}{k}_{1}& 0\\ 0& {k}_{2}\end{array})(\begin{array}{}{x}_{1}\\ {x}_{2}\end{array})=-(\begin{array}{cc}{m}_{11}& {m}_{12}\\ {m}_{12}& {m}_{22}\end{array})(\begin{array}{}{\ddot{x}}_{1}\\ {\ddot{x}}_{2}\end{array})\)

Les pulsations propres du système couplé sont données par l’équation de degré 4 :

\(\det\left[(\begin{array}{cc}{m}_{1}+{m}_{11}& {m}_{12}\\ {m}_{12}& {m}_{2}+{m}_{22}\end{array}){\Omega}^{2}-(\begin{array}{cc}{k}_{1}& 0\\ 0& {k}_{2}\end{array})\right]=0\)

Application numérique:

\({K}_{1}={10}^{7}N/m\) \({K}_{2}={10}^{7}N/m\)

\({m}_{11}=33060\mathrm{kg}/m\)

\({m}_{22}=40004\mathrm{kg}/m\)

\({m}_{12}=–36200\mathrm{kg}/m\)

On obtient deux fréquences propres:

\({f}_{1}=1.696\mathrm{Hz}\) \({f}_{2}=4.128\mathrm{Hz}\)

2.2. Résultats de référence

Analytique

2.3. Références bibliographiques

R.J GIBERT. Vibrations des Structures . Interactions avec des fluides. Eyrolles (1988).