2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Calcul analytique:
Lorsque la structure vibre dans le fluide, elle modifie le champ de pression qui obéit à une équation de Laplace avec conditions aux limites de Von Neuman [R4.07.03].
Dans notre cas, compte tenu des symétries du problème, le champ de pression ne dépend que de la variable \(x\) et vérifie:
\(\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{\partial}^{2}p}{\partial {x}^{2}}=0& {(\frac{\partial p}{\partial x})}_{x=0}=-{\rho}_{f}{\ddot{x}}_{S}.n\\ p=0\text{en}x=L& \end{array}\)
On constate ainsi que le champ de pression est une fonction affine de l’abscisse \(x\) . Les deux conditions aux limites sur la pression impliquent: \(p=-{\rho}_{f}{\ddot{x}}_{S}.n(x-L)\)
La force de pression qui s’exerce sur la structure s’écrit:
\(F=\underset{\Gamma}{\int}p(0)nd\Gamma =\underset{\Gamma}{\int}{\rho}_{f}L({\ddot{x}}_{S}.n)nd\Gamma\)
Comme le problème est unidimensionnel, cette force peut s’exprimer de façon algébrique selon la composante d’accélération suivant \(\mathrm{Ox}\) de la structure:
\(F=-\ddot{x}\underset{\Gamma}{\int}{\rho}_{f}Ld\Gamma =-{\rho}_{f}Ld\ddot{x}=-{m}_{a}\ddot{x}\) avec \({m}_{a}={\rho}_{f}Ld\)
C’est la masse ajoutée linéique du fluide sur la structure : on remarque qu’elle correspond à la masse de fluide dans la colonne, c’est à dire à la masse de fluide déplacée par le piston.
L’équation du mouvement du piston projetée sur \(\mathrm{Ox}\) s’écrit (vibration libre non amortie compte tenu de la présence du fluide):
\(m\ddot{x}+Kx=F=-{m}_{a}\ddot{x}\mathrm{\iff }(m+{m}_{a})\ddot{x}+Kx=0\)
La fréquence propre de ce système immergé s’écrit donc:
\(f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{K}{m+{m}_{a}}}\)
L’effet du fluide est donc d’abaisser la fréquence propre du système en air.
Pratiquement, dans Aster, la matrice de masse ajoutée est déterminée sur la base modale de la structure dans le vide : Pour calculer la masse ajoutée donnée ci-dessus, on se restreint au calcul du mode propre du système piston-ressort qui correspond à un mouvement de translation normée à l’unité : on tronque par conséquent la base modale de la structure à un seul mode en air (opérateur CALC_MODES option “PLUS_PETITE”). On détermine grâce à ce mode la masse ajoutée sur le piston.
\(K={10}^{5}N/m\) \({m}_{a}=200\mathrm{kg}/m\) \(m=78\mathrm{kg}/m\)
La fréquence propre du système piston-ressort immergé est donc \(f=3.018\mathit{Hz}\)
2.2. Résultats de référence#
Analytique
2.3. Références bibliographiques#
J GIBERT - Vibrations des Structures - Interactions avec des fluides. Eyrolles (1988).