2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul#

Il s’agit d’une solution analytique. La pression de fluide \({p}_{f}\) imposée dans l’interface cohésive est transmise à la pression de pore au niveau des lèvres de l’interface cohésive (cf Documentation [R7.02.18]). Compte tenu des conditions aux limites, tout se passe comme si un échelon de pression de pore était imposé à l’extrémité des deux sous colonnes formées par l’interface cohésive. Le problème est donc unidirectionnel. Ces deux sous colonnes sont figées car les déplacements sont bloqués. En négligeant la pesanteur, l’équation de conservation de la masse dans la matrice poreuse s’écrit de la manière suivante:

\(\frac{\partial {m}_{w}}{\partial t}+\nabla \cdot M=0\)

avec \({m}_{w}=\rho \varphi (1+{{\varepsilon}}_{v})\) les apports massiques dans la matrice poreuse et \(M=\frac{-\rho {K}^{int}}{{\mu}_{w}}\nabla p\) le flux de fluide Darcéen dans la matrice poreuse. Les déplacements étant bloqués, la déformation volumique \({{\varepsilon}}_{v}\) est nulle. Par ailleurs, \(d\varphi =(b-\varphi )(d{{\varepsilon}}_{v}+\frac{\mathit{dp}}{{K}_{s}})\) avec \({K}_{s}\) le module de compressibilité de la matrice solide. Or la matrice solide est supposée incompressible car nous avons pris \(b=1\) (et \(b=1-\frac{{K}_{m}}{{K}_{s}}\) avec \({K}_{S}\) le module de compressibilité du milieu poreux). Donc finalement \(d\varphi =0\) . Enfin \(\frac{d\rho }{\rho}=\frac{\mathit{dp}}{{K}_{w}}\) . L’équation de conservation de la masse se réécrit donc:

\(\frac{\rho \varphi }{{K}_{w}}\frac{\partial p}{\partial t}-\frac{{K}^{int}}{{\mu}_{w}}[\nabla p\cdot \nabla \rho +\rho \Delta p]=0\)

En négligeant le terme du deuxième ordre :math:`nabla pcdot nabla rho ` , il vient:

\(\frac{\varphi {\mu}_{w}}{{K}_{w}{K}^{int}}\frac{\partial p}{\partial t}=\Delta p\)

Il s’agit d’une équation de diffusion. Le coefficient \(\frac{\varphi {\mu}_{w}}{{K}_{w}{K}^{int}}\) à la dimension d’un temps sur une longueur au carré. Dans notre problème, la dimension caractéristique pour la diffusion est \(\frac{\mathit{LZ}}{2}\) . On en déduit un temps caractéristique de diffusion \(\tau =\frac{\varphi {\mu}_{w}}{{K}_{w}{K}^{int}}\ast {(\frac{\mathit{LZ}}{2})}^{2}\) . Ce temps caractéristique vaut \(\tau =0,459842s\) . Au bout de \(t=10s\) , la diffusion est donc achevée, la pression de pore dans la matrice poreuse vérifie alors \(\Delta p=0\) .

D’après les conditions au limites, en dessous de l’interface:

  • la pression de pore vaut \(p(y)=\frac{2y}{\mathit{LZ}}{p}_{f}\) et le flux de fluide dans la matrice vaut \(M=\frac{-2\rho {K}^{int}{p}_{f}}{\mathit{LZ}{\mu}_{w}}\) .

Et au dessus de l’interface:

  • la pression de pore vaut \(p(y)=(1-\frac{y}{\mathit{LZ}})2{p}_{f}\) et le flux de fluide dans la matrice vaut \(M=\frac{2\rho {K}^{int}{p}_{f}}{\mathit{LZ}{\mu}_{w}}\) .

2.2. Grandeurs et résultats de référence#

On teste la valeur des flux sortants de l’interface cohésive vers les parties inférieures et supérieures de de la colonne poreuse ainsi que la valeur de la pression de pore en \(z=4m\) et \(z=6m\) .

Grandeurs testées

Valeur

LAG_FLI (Flux sortant de l’interface vers la partie inférieure de la colonne)

4,07748 kg·m²/s

LAG_FLS (Flux sortant de l’interface vers la partie supérieure de la colonne)

4,07748 kg·m²/s

PRE1 (à Z=4m)

8Mpa

PRE1 (à Z=6m)

8Mpa

2.3. Incertitudes sur la solution#

La solution de référence est analytique.

2.4. Références bibliographiques#

  1. Documentation de référence R7.02.18 (Éléments hydromécaniques couplés avec la méthode des Éléments Finis Étendue).