2. Solution de référence

On exhibe sans difficulté une solution de référence portant sur la déformation volumique \(\varepsilon_v\) dans les deux phases de chargement.

Dans la première phase (désaturation), elle se présente comme une fonction non-linéaire de la pression capillaire \(p_c\) :

(2.1)\[\varepsilon_v = \varepsilon_{v,1} = \underbrace{-\tilde\kappa_s\ln\left(1+\frac{p_c}{K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\varepsilon_v^e}\underbrace{-(\tilde\lambda_s-\tilde\kappa_s)\ln\left(1+\frac{\langle p_c-s^0_0\rangle}{s^0_0+K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\varepsilon_v^p}, \quad \text{avec}\quad \langle x \rangle = \frac{x+|x|}{2}, \quad \tilde x = \frac{x}{1+e_0}\]

Dans la seconde phase (compression isotrope), elle est une fonction non-linéaire de la pression nette \(p''=-\sigma_m''=-(\sigma_m+p_g)\) (\(p_g\) étant la pression de gaz) :

(2.2)\[\varepsilon_v = \varepsilon_{v,2} = \varepsilon_{v,1} \underbrace{-\tilde\kappa\ln\left(1+\frac{p''}{K\tilde\kappa}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^e}\underbrace{-(\tilde\lambda(p_c)-\tilde\kappa)\ln\left(1+\frac{\langle p''-\tilde p_{con}(p_c,\varepsilon^p_{v,1})\rangle}{\tilde p_{con}(p_c,\varepsilon^p_{v,1})}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^p}\]

où :

(2.3)\[\tilde\lambda(p_c) = \tilde\lambda_0\left((1-r)\exp(-\beta p_c)+r\right),\quad \tilde{p}_{con}(p_c,\varepsilon_{v,1}^p) = p_r\left(\cfrac{p^0_{con}\exp\left(-\cfrac{\varepsilon_{v,1}^p}{\tilde{\lambda}_0-\tilde{\kappa}}\right)}{p_r}\right)^\cfrac{\tilde{\lambda}_0-\tilde{\kappa}}{\tilde{\lambda}(p_c)-\tilde{\kappa}}\]