Solution de référence
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On exhibe sans difficulté une solution de référence portant sur la déformation volumique :math:`\varepsilon_v` dans les deux phases de chargement.

Dans la première phase (désaturation), elle se présente comme une fonction non-linéaire de la pression capillaire :math:`p_c` :

.. math::
    \varepsilon_v = \varepsilon_{v,1} = \underbrace{-\tilde\kappa_s\ln\left(1+\frac{p_c}{K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\varepsilon_v^e}\underbrace{-(\tilde\lambda_s-\tilde\kappa_s)\ln\left(1+\frac{\langle p_c-s^0_0\rangle}{s^0_0+K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\varepsilon_v^p}, \quad \text{avec}\quad \langle x  \rangle = \frac{x+|x|}{2}, \quad \tilde x  = \frac{x}{1+e_0}
    :label: deformation_volumique_desaturation

Dans la seconde phase (compression isotrope), elle est une fonction non-linéaire de la pression nette :math:`p''=-\sigma_m''=-(\sigma_m+p_g)` (:math:`p_g` étant la pression de gaz) :

.. math::
    \varepsilon_v = \varepsilon_{v,2} = \varepsilon_{v,1}
     \underbrace{-\tilde\kappa\ln\left(1+\frac{p''}{K\tilde\kappa}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^e}\underbrace{-(\tilde\lambda(p_c)-\tilde\kappa)\ln\left(1+\frac{\langle p''-\tilde p_{con}(p_c,\varepsilon^p_{v,1})\rangle}{\tilde p_{con}(p_c,\varepsilon^p_{v,1})}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^p}
    :label: deformation_volumique_compression

où :

.. math::
    \tilde\lambda(p_c) = \tilde\lambda_0\left((1-r)\exp(-\beta p_c)+r\right),\quad 
    \tilde{p}_{con}(p_c,\varepsilon_{v,1}^p) = p_r\left(\cfrac{p^0_{con}\exp\left(-\cfrac{\varepsilon_{v,1}^p}{\tilde{\lambda}_0-\tilde{\kappa}}\right)}{p_r}\right)^\cfrac{\tilde{\lambda}_0-\tilde{\kappa}}{\tilde{\lambda}(p_c)-\tilde{\kappa}}
    :label: detail_termes