1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

_images/Object_1.svg — Fig. 1.1 Hauteur: \(h=1\) m, largeur : \(l=1\) m, épaisseur: \(e=1\) m.#

1.2. Propriétés du matériau#

1.2.1. Modèle de comportement de CAM_CLAY#

Les paramètres spécifiques à la loi élastoplastique CAM_CLAY [r7.01.14], en ce qui concerne les modélisations A, B et C, sont :

\(\mu =6\) MPa, \(PORO=0.66\), \(\lambda =0.25\), \(\kappa =0.05\), \(M=0.9\), \(P^0_{cr}=300\) kPa, \(K_{cam}=0\) Pa, \(P_{trac}=0\) Pa.

Le fluide saturant est suposé avoir un module de compressibilité \(K_w\) infini. La masse spécifique initiale est \(\rho_{w}^0=1000\text{kg/m}^3\), et la porosité initiale \(\varphi_0=PORO=0.66\). Le couplage poromécanique utilise un coefficient de Biot \(b=1\).

1.2.2. Modèle de comportement de MCC#

Les paramètres spécifiques à la loi élastoplastique MCC [r7.01.10] sont donnés dans le Tableau 1.2 suivant concernant la modélisation D.

Tableau 1.1 Paramères tu modèle MCC dans la modélisation D.#
Effet	Appellation	Définition	Symbole	Valeur
Élasticité non-linéaire isotrope	BulkModulus ShearModulus SwellingIndex	Module de compressibilité Module de cisaillement Indice de non-linéarité élastique	\(K\) \(\mu\) \(\kappa\)	160 MPa 100 MPa 50
Domaine d’élasticité initial	InitCritPress CritStateSlope TensileYieldStress	Pression critique initiale Pente d’état critique Limite d’élasticité en traction isotrope	\(p_{c0}\) \(M\) \(\sigma_0\)	1 MPa 1 10 kPa
Écrouissage cinématique-isotrope	IncoPlastIndex	Indice d’incompressibilité plastique	\(\beta\)	50

Le module de compressibilité du fluide saturant est \(K_w=10^3\) GPa, sa masse spécifique initiale \(\rho_{w}^0=1000\text{ kg/m}^3\), et la porosité initiale \(\varphi_0=0.3\). Le couplage poromécanique utilise un coefficient de Biot \(b=1\).

1.2.3. Modèle de comportement CSSM#

Les paramètres spécifiques au modèle CSSM [r7.01.44] sont regroupés dans le Tableau 1.2 concernant la modélisation E.

Tableau 1.2 Paramètres du modèle CSSM utilisés dans la modélisation E.#
Intervention	Appellation	Définition	Symbole	Valeur
Élasticité	BulkModulus ShearModulus ShearModulusRatio	Module de compressibilité total Module de cisaillement total Rapport du module de cisaillement du composant 1 sur le module de cisaillement total	\(K\) \(\mu\) \(\rho\)	516 MPa 238 MPa 0.1
Composant 1	CritStateSlope InitCritPress IncoPlastIndex IsoHardRatio IsoHardIndex	Pente d’état critique Pression critique initiale Indice d’incompressibilité plastique Rapport de réduction homothétique du domaine d’élasticité initial Indice d’écrouissage par agrandissement homothéTique du domaine d’élasticité initial	\(M\) \(p_{c0}\) \(\beta\) \(\eta\) \(\omega\)	\(1.38\) \(100\) kPa \(30\) \(0.99\) \(32\)
Composant 2	HypDistortion HypExponent MinCritPress	Distorsion de référence de la relation « hyperbolique modifiée » Paramètre de courbure de la relation « hyperbolique modifiée » Pression minimale pour laquelle l’état critique est atteignable	\(\gamma_{\mathrm{hyp}}\) \(n_{\mathrm{hyp}}\) \(C\)	\(2.10^{-4}\) \(0.78\) \(448\) kPa

Remarque :

Le coefficient de Biot b, le module de compressibilité de la phase solide \(K_s\), et le module de compressibilité drainé du squelette \(K_0\), celui calculé par le mot-clé ELAS, sont supposés être liés par la relation suivante :

\[b=1-\frac{K_0}{K_s}\]

Donc \(b=1\rightarrow K_0/K_s=0\), et ce quelque soit la valeur renseignée de \(K_0\) qui, a priori, est un paramètre indépendant de l’élasticité non-linéaire à renseigner dans les mots-clés CAM_CLAY ou MCC. Plus généralement, on pourra se réferer à l’influence des paramètres \(b,K_s,K_0\) sur l’évolution de la porosité [r7.01.10] dans le cas plus général où \(b<1\).

1.3. Conditions aux limites et chargements#

Pour les modélisations A, B et C, concernant le modèle CAM_CLAY, le premier trajet de chargement est une compression isotrope, en condition drainéee (\(PRE1=0\)), jusqu’à la pression \({P}_{sup}\). Pour le second trajet, la pression \({P}_{sup}\) est maintenue constante sur les faces latérales et, simultanément, un déplacement imposé vertical de compression est imposé. Ce second chargement est non drainé, ce qui correspond à un flux hydrostatique nul sur toutes les faces.

Pour la modélisation A : \({P}_{sup}={P}_{conso}=2{P}^0_{cr}-P_{trac}=600\) kPa (état final contractant) ;
Pour la modélisation B : \({P}_{sup}={P}^0_{cr}=300\) kPa (état final critique à variation volumique nulle) ;
Pour la modélisation C : \({P}_{sup}=220\) kPa \(<P^0_{cr}\) (état final dilatant).

Pour la modélisation D, concernant le modèle MCC, le premier chargement est également une compression isotrope, en condition drainée, jusqu’à \({P}_{sup}=2\) MPa. Le second chargement est identique à celui précédemment décrit dans les modélisations B, C et D.

Pour la modélisation E, concernant le modèle CSSM, le premier chargement est une compression isotrope, en condition drainée, jusqu’à \(P_{sup}=100\) kPa. Le second chargement est identique à ceux décrits dans les modélisations précédentes.

Remarque :

Concernant les modélisations A, B et C, pour le modèle CAM_CLAY, il est exigé qu’à l’état initial la contrainte hydrostatique soit strictement supérieure à zéro (voir [r7.01.14]). Pour cela, un calcul purement élastique en faisant évoluer la pression de \(0\) à \(1\) Pa est effectué. De ce calcul est extrait le champ de contraintes aux points de gauss. Ce champ de contraintes issu du calcul élastique est considéré comme l’état initial de la contrainte hydrostatique nécessaire à la loi CAM_CLAY du calcul suivant (compression isotrope en conditions drainées jusque \({P}_{sup}\)).