2. Solution de référence#
2.1. Résultat de la solution de référence#
Pour un essai de traction suivant la direction \(x\) , le tenseur de Kirchhoff \(\tau\) est de la forme:
Les tenseurs gradients de la transformation
et
et le tenseur isochore de déformations plastiques
sont de la forme:
Par la loi de comportement, on obtient la relation suivante:
soit
La contrainte de Cauchy s’écrit:
En charge plastique pour un écrouissage isotrope
linéaire, tel que :
on a:
L’intégration de la loi d’écoulement de la déformation plastique \({G}^{P}\) donne (sachant que \({G}^{P}(p=0)=1\) ):
\({G}^{P}={e}^{-2p}\)
La composante \(\stackrel{ˉ}{F}\) du gradient de la transformation est donnée par la résolution de:
Le champ de déplacement \(u\) (dans la configuration initiale) est de la forme \(u={u}_{x}X+{u}_{y}Y+{u}_{z}Z\) . Les composantes sont données par:
2.2. Résultats de référence#
On adoptera comme résultats de référence les déplacements, la contrainte de Cauchy \(\sigma\) et la déformation plastique cumulée \(p\) .
Au temps \(t=\mathrm{2 }s\) (\(\Delta T=100°C\) , traction \(u\) )
On cherche le déplacement total (thermique + mécanique) tel que la contrainte \(\tau\) soit égale à:
\(\tau =1500\mathit{Mpa}\) (à \(T=120°C\) )
\(\mathrm{3K}=500000\mathit{MPa}\) \(\mu =76923\mathit{MPa}\)
\(\sigma =1453\mathit{MPa}\)
\(p=0,2475\)
\({G}^{p}=0,609\)
\(\stackrel{ˉ}{F}=1,289\)
\(F=1,303\)
\(\tilde{u}=303\mathit{mm}\)
\(\tilde{v}=–110\mathit{mm}\)
Avec ces grandeurs, il est possible de déterminer l’énergie élastique du barreau. Attention, la présence de thermique engendre un jacobien élevé, nécessitant une correction spécifique telle que décrite en R5.03.21. Au final, on obtient au point matériel : \({\Psi}_{\mathit{elas}}=5,6\mathit{MPa}\)
2.3. Incertitude sur la solution#
La solution est analytique. Aux erreurs d’arrondis près, on peut la considérer exacte.
2.4. Références bibliographiques#
On pourra se référer à :
CANO, E. LORENTZ: Introduction dans le Code_Aster d’un modèle de comportement en grandes déformations élastoplastique avec écrouissage isotrope - Note interne EDF DER HI‑74/98/006/0