1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

Largeur: \(a=0.05m\)

Hauteur: \(h=0.2m\)

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1.2. Propriétés des matériaux#

La convention suivante est adoptée afin de distinguer les paramètres de la phase chaude (austénitique) des paramètres des phases froides (ferrito-perlitique, bainitique et martensitique):

_images/Object_6.svg

=

caractéristiques relatives à la phase austénitique
_images/Object_7.svg

=

caractéristiques relatives aux phases ferrito-perlitique, bainitique et martensitique

Paramètres métallurgiques:

TRC pour modéliser une évolution métallurgique de type bainitique, sur toute la structure, de la forme:

\({Z}_{\mathit{fbm}}=\lbrace \begin{array}{ccc}0.& \mathit{si}t\le {\tau}_{1}& {\tau}_{1}=60s\\ \frac{t-{\tau}_{1}}{{\tau}_{2}-{\tau}_{1}}& \mathit{si}{\tau}_{1}\le t<{\tau}_{2}& {\tau}_{2}=112s\\ 1.& \mathit{si}t\ge {\tau}_{2}& \end{array}\)

Paramètres thermiques:

Capacité calorifique: \(\rho {C}_{p}=2.{10}^{6}{\mathit{J.m}}^{-3}.°{C}^{-1}\)

Conductivité: \(\lambda =9999.9{\mathit{W.m}}^{-1}.°{C}^{-1}\)

Paramètres thermo-mécaniques:

  • Paramètres thermo-élastiques:

Module d’Young \(E=200000{10}^{6}\mathit{Pa}\)

Coefficient de Poisson \(\nu =0.3\)

Coefficients de dilatation thermique

\({\alpha}_{\mathit{fbm}}=15.{10}^{-6}°{C}^{-1}\) \({\alpha}_{\mathit{aust}}=23.5{10}^{-6}°{C}^{-1}\)

Température de définition du coefficient de dilatation: \({T}_{\mathit{ref}}=900°C\)

État de déformation thermique de référence: \(\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}=2.52{10}^{-3}\)

Limite d’élasticité:

\({\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}={\sigma}_{0}^{\mathit{fbm}}+{s}^{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})\) avec \({\sigma}_{0}^{\mathit{fbm}}=530.{10}^{6}\mathit{Pa}\) et \({s}^{\mathit{fbm}}=0.5{10}^{6}\mathit{Pa.}°{C}^{-1}\)

\({\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}={\sigma}_{0}^{\mathit{aust}}+{s}^{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\) avec \({\sigma}_{0}^{\mathit{aust}}=400.{10}^{6}\mathit{Pa}\) et \({s}^{\mathit{aust}}=0.5{10}^{6}\mathit{Pa.}°{C}^{-1}\)

  • Paramètres thermo-plastiques (loi avec écrouissage linéaire)

Modules tangents: \({E}_{T}^{\mathit{fbm}}\) et \({E}_{T}^{\mathit{aust}}\) sont choisis tel que:

\({H}^{\mathit{fbm}}={H}_{0}^{\mathit{fbm}}+{\lambda}^{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})\) avec \({H}_{0}^{\mathit{fbm}}=-50.{10}^{6}\mathit{Pa}\) et \({\lambda}^{\mathit{fbm}}=-5.{10}^{6}\mathit{Pa.}°{C}^{-1}\)

\({H}^{\mathit{aust}}={H}_{0}^{\mathit{aust}}+{\lambda}^{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\) avec \({H}_{0}^{\mathit{aust}}=1250.{10}^{6}\mathit{Pa}\) et \({\lambda}^{\mathit{aust}}=-5.{10}^{6}\mathit{Pa.}°{C}^{-1}\)

On rappelle que \(H=\frac{{\mathit{EE}}_{T}}{E-{E}_{T}}\)

  • Paramètres pour la plasticité de transformation:

Rappel:

Dans le cas d’uneévolution métallurgique de type bainitique, le modèle de la plasticité de transformation est le suivant: \({\dot{\epsilon}}^{\mathit{pt}}=\frac{3}{2}\stackrel{̃}{\sigma}{k}^{\mathit{fbm}}{F}^{'}({Z}_{\mathit{fbm}}){\dot{Z}}_{\mathit{fbm}}\)

Paramètres du modèle: \({k}^{\mathit{fbm}}=1.{10}^{-10}{\mathit{Pa}}^{-1}\) et \({F}^{'}({Z}_{\mathit{fbm}})=2(1-{Z}_{\mathit{fbm}})\)

1.3. Conditions aux limites et chargements#

  • \({u}_{Y}=0\) sur le côté \(\mathit{AB}\) ; \({u}_{X}=0\) en \(A\) .

  • \(T={T}^{0}+\mu t\) , \(\mu =-5°{\mathit{C.s}}^{-1}\) sur toute la structure.

Notations : \(\begin{array}{c}T({\tau}_{1})={T}_{1}\\ T({\tau}_{2})={T}_{2}\end{array}\)

  • Le chargement sur la structure est dû aux phénomènes de dilatation thermique et métallurgique contraints dans la direction \(z\) par la condition de déformations planes.

1.4. Conditions initiales#

\({T}^{0}=900°C={T}^{\mathit{ref}}\)