1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

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Largeur de la plaque:

\(W=0.6m\)

Longueur de la plaque:

\(L=0.3m\)

Longueur de la fissure:

\(\mathrm{2a}=0.3m\)

1.2. Propriétés du matériau#

Notation pour propriétés thermoélastiques:

\(\left\lbrace \begin{array}{c}{\varepsilon}_{x}\\ {\varepsilon}_{y}\\ {\gamma}_{xy}\end{array}\right\rbrace =\left[\begin{array}{ccc}{S}_{11}& {S}_{12}& 0\\ {S}_{12}& {S}_{22}& 0\\ 0& 0& {S}_{66}\end{array}\right]\left\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{x}\\ {\sigma}_{y}\\ {\tau}_{xy}\end{array}\right\rbrace +\left\lbrace \begin{array}{c}{\alpha}_{11}\\ {\alpha}_{22}\\ 0\end{array}\right\rbrace \cdot (T-{T}_{\mathit{ref}})\)

\(\begin{array}{c}{S}_{11}=1/{E}_{x}\\ {S}_{22}=1/{E}_{y}\\ {S}_{12}=-{\nu}_{x}/{E}_{x}=-{\nu}_{y}/{E}_{y}\\ {S}_{66}=1/{G}_{xy}\\ {\alpha}_{11}={\alpha}_{x}\\ {\alpha}_{22}={\alpha}_{y}\end{array}\)

On se limite au matériau isotrope, tant du point de vue thermique que mécanique:

\({E}_{x}={E}_{y}=2.{10}^{5}\mathit{MPa}\)

\({\nu}_{x}={\nu}_{y}=0.3\)

\({\alpha}_{x}={\alpha}_{y}=1.2{10}^{-5}°{C}^{-1}\)

\({\lambda}_{x}={\lambda}_{y}=54.W/m°C\)

1.3. Conditions aux limites et chargement#

On considère deux modèles:

  • le demi-modèle \(x=0\)

  • le modèle complet

Conditions aux limites mécaniques:

  • demi-modèle

\(\mathrm{UX}=0\) le long de l’axe de symétrie \(X=0\)

\(\mathrm{UY}=0\) au point (\(W/2.\) )

  • modèle complet

\(\mathrm{UX}=0\) au point \((0,L/2.)\)

\(\mathrm{UY}=0\) aux points \((-L/2.)\) et \((L/2.)\)

Conditions aux limites thermiques:

  • demi-modèle

\(T=100°C\) sur le bord supérieur \(Y=L/2\) .

\(T=-100°C\) sur le bord inférieur \(Y=-L/2\) .

flux nul sur l’axe de symétrie, sur le bord libre \(X=W/2.\) et sur le bord de la fissure

  • modèle complet

\(T=100°C\) sur le bord supérieur \(Y=L/2\) .

\(T=-100°C\) sur le bord inférieur \(Y=-L/2\) .

flux nul sur les bords libres \(X=\pm W/2.\) et sur le bord de la fissure