2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Ce problème admet une solution analytique. La méthode de calcul est largement détaillée dans [Lorentz-2020].
Pour la phase de charge, on se donne une valeur d’endommagement cible \(b=0.1\) . En notant \({E}_{c}\) la rigidité confinée, \({\sigma}_{c}\) la contrainte au pic en traction confinée et \(B(b)\) la fonction de rigidité, on peut calculer successivement la contrainte \({\sigma}^{(T)}\) puis la déformation \({\epsilon}^{(T)}\) atteintes pour la valeur d’endommagement cible:
\({\sigma}^{(T)}=(1-b){\sigma}_{c}\) \({\epsilon}^{(T)}=\frac{{\sigma}^{(T)}}{{E}_{c}B(b)}\)
La phase de compression est menée jusqu’à \({\epsilon}^{(C)}=-2{\epsilon}^{(T)}\) . En notant \(S'\) la fonction de régularisation du saut de rigidité, on en déduit le niveau de contrainte correspondant:
\({\sigma}^{(C)}={E}_{c}[B(b){\epsilon}^{(C)}+(1-B(b))\frac{S'({\epsilon}^{(C)})}{2}]\)
Quant à l’endommagement, il ne varie pas pendant la décharge puis la compression.
2.2. Résultats de référence#
Les paramètres internes du modèle correspondant au jeu de valeurs choisi sont les suivants:
\({E}_{c}=37921\text{MPa}\)
\({\sigma}_{c}=3.034\text{MPa}\)
\({w}_{c}=1.214\times {10}^{-4}\text{MPa}\)
\(\kappa =5.842\)
\({m}_{0}=0.589\)
\({D}_{1}=4.081\)
\(r=3.95\)
On s’assurera qu’à déformations imposées, le modèle retrouve bien les niveaux d’endommagement et de contraintes attendus.
On teste également le calcul des variables internes de post-traitement, à savoir la valeur \(1-B(b)\) , l’énergie de déformation élastique \(w(\epsilon ,b)\) ainsi que l’énergie consommée par l’endommagement. Dans le cas présent, cette dernière s’écrit simplement, toujours avec les notations de [Lorentz-2020]:
\({W}_{\mathit{cons}}=\kappa {w}_{c}\widehat{a}(b)\)
2.3. Incertitudes sur la solution#
Néant.