Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Ce problème admet une solution analytique. La méthode de calcul est largement détaillée dans [Lorentz-2020]_.

Pour la phase de charge, on se donne une valeur d’endommagement cible :math:`b=0.1` . En notant :math:`{E}_{c}` la rigidité confinée, :math:`{\sigma}_{c}` la contrainte au pic en traction confinée et :math:`B(b)` la fonction de rigidité, on peut calculer successivement la contrainte :math:`{\sigma}^{(T)}` puis la déformation :math:`{\epsilon}^{(T)}` atteintes pour la valeur d’endommagement cible:

 :math:`{\sigma}^{(T)}=(1-b){\sigma}_{c}`         :math:`{\epsilon}^{(T)}=\frac{{\sigma}^{(T)}}{{E}_{c}B(b)}`

La phase de compression est menée jusqu’à :math:`{\epsilon}^{(C)}=-2{\epsilon}^{(T)}` . En notant :math:`S'` la fonction de régularisation du saut de rigidité, on en déduit le niveau de contrainte correspondant:

 :math:`{\sigma}^{(C)}={E}_{c}[B(b){\epsilon}^{(C)}+(1-B(b))\frac{S'({\epsilon}^{(C)})}{2}]`

Quant à l’endommagement, il ne varie pas pendant la décharge puis la compression.


Résultats de référence
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Les paramètres internes du modèle correspondant au jeu de valeurs choisi sont les suivants:

 :math:`{E}_{c}=37921\text{MPa}`

 :math:`{\sigma}_{c}=3.034\text{MPa}`

 :math:`{w}_{c}=1.214\times {10}^{-4}\text{MPa}`

 :math:`\kappa =5.842`

 :math:`{m}_{0}=0.589`

 :math:`{D}_{1}=4.081`

 :math:`r=3.95`


On s’assurera qu’à déformations imposées, le modèle retrouve bien les niveaux d’endommagement et de contraintes attendus.

On teste également le calcul des variables internes de post-traitement, à savoir la valeur :math:`1-B(b)` , l’énergie de déformation élastique :math:`w(\epsilon ,b)` ainsi que l’énergie consommée par l’endommagement. Dans le cas présent, cette dernière s’écrit simplement, toujours avec les notations de [Lorentz-2020]_:

 :math:`{W}_{\mathit{cons}}=\kappa {w}_{c}\widehat{a}(b)`


Incertitudes sur la solution
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Néant.


Références bibliographiques
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.. [Lorentz-2020] Lorentz E. (2020) . CIWAP 3 – Fissuration du béton : proposition d’un modèle de comportement local isotrope représentatif de l’endommagement en traction et cisaillement pour simuler des zones fissurées homogènes. Note interne EDF R&D 6125-1724-2020-01604.