1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

L’essai biaxial est effectué sur un seul élément fini isoparamétrique de forme carrée QUAD8, groupe de maille nommé \(\mathrm{BLOC}\) . La longueur de chaque arête vaut \(\mathrm{1m}\) . Les différents côtés de ce carré sont des groupes de maille nommés \(\mathrm{HAUT}\) , \(\mathrm{BAS}\) , \(\mathrm{DROIT}\) et \(\mathrm{GAUCHE}\) . Le groupe de mailles \(\mathrm{COTE}\) contient par ailleurs les groupes de maille \(\mathrm{DROIT}\) et \(\mathrm{GAUCHE}\) ; le groupe de maille \(\mathrm{APPUI}\) le groupe de maille \(\mathrm{BAS}\) .

1.2. Propriétés de matériaux du sable d’Hostun#

Les propriétés élastiques sont:

  • module de compressibilité isotrope: \(K=148\mathrm{MPa}\)

  • module de cisaillement: \(\mu =68\mathrm{MPa}\)

Les propriétés anélastiques (modèle de Hujeux) sont issues du mémoire de thèse de K.Hamadi [2] et correspondent à du sable d’Hostun peu dense:

  • puissance de la loi élastique non-linéaire: \({n}_{e}=0.\) (élastique linéaire)

  • \(\beta =30.\)

  • \(d=2.5\)

  • \(b=0.2\)

  • angle de frottement: \(\phi =33°\)

  • angle caractéristique: \(\Psi =33°\)

  • pression critique: \({P}_{\mathrm{CO}}=-400\mathrm{kPa}\)

  • pression de référence: \({P}_{\mathrm{ref}}=-1000\mathrm{kPa}\)

  • rayon élastique du mécanisme isotrope: \({r}_{\mathrm{ela}}^{s}={10}^{-4}\)

  • rayon élastique du mécanisme déviatoire: \({r}_{\mathrm{ela}}^{d}=0.01\)

  • \({a}_{\mathrm{mon}}=0.017\)

  • \({a}_{\mathrm{cyc}}=0.0001\)

  • \({c}_{\mathrm{mon}}=0.08\)

  • \({c}_{\mathrm{cyc}}=0.04\)

  • \({r}_{\mathrm{hys}}=0.05\)

  • \({r}_{\mathrm{mob}}=0.9\)

  • \({x}_{m}=1.\)

  • \(\mathrm{dila}=1.\)

1.3. Conditions aux limites et chargements#

L’essai biaxial présenté ici est réalisé en modélisation D_PLAN. Les déplacements normaux au plan d’études sont donc nuls. On impose sur l’éprouvette un déplacement vertical tout en maintenant la pression latérale constante dans le plan d’étude. Il peut être drainé (la pression interstitielle de fluide ne varie pas au cours de l’essai) ou non-drainé (on ferme le robinet: la pression interstitielle de fluide évolue dans l’échantillon). On s’intéresse ici au cas drainé, plus simple, car ne faisant pas intervenir l’influence de la pression interstitielle du fluide. On choisit alors une modélisation en mécanique pure.

Dans le modèle considéré, l’élément carré représente un quart de l’échantillon. Les conditions aux limites sont donc les suivantes:

Les conditions de symétrie:

  • \({u}_{y}=0.\) sur le groupe de maille \(\mathrm{BAS}\)

  • \({u}_{x}=0.\) sur le groupe de maille \(\mathrm{GAUCHE}\)

Les conditions de pression latérale:

  • \({P}_{n}=1.\) sur le groupe de maille \(\mathrm{COTE}\)

Les conditions de chargement:

  • \({P}_{n}=1.\) sur le groupe de maille \(\mathrm{HAUT}\)

  • \({u}_{z}=-1.\) sur le groupe de maille \(\mathrm{HAUT}\)

Le chargement s’effectue en deux phases:

  • Un état de contraintes isotrope, \({P}_{o}=100\mathrm{kPa}\) , est affecté initialement sur la maille \(\mathrm{BLOC}\) ;

  • Un déplacement vertical est imposé sur le groupe de mailles \(\mathrm{HAUT}\) et varie entre \(t=0.\) et \(t=10.\) de \({u}_{y}=0.\) et \({u}_{y}=-0.2\) (déformation verticale totale de \(20\text{\%}\) ).

1.4. Résultats#

Les solutions sont post-traitées au point \(C\) , en termes de contrainte \({\sigma}_{yy}\) , de déformation volumique totale \({\varepsilon}_{v}\) et de coefficients d’écrouissage isotrope \(({r}_{\text{ela}}^{\text{iso},m}+{r}_{\text{iso}}^{m})\) et déviatoire \(({r}_{\text{ela}}^{d,m}+{r}_{\text{dev}}^{m})\) .

La validation est effectuée par comparaison aux solutions GEFDYN fournies par l’Ecole Centrale Paris ( http://www.mssmat.ecp.fr/-GEFDYN,016- ).

On réalise également le calcul d’option élémentaire PDIL_ELGA pour ce problème d’adoucissement. Cette option de calcul permet d’estimer la valeur maximale à allouer au paramètre de régularisation A1 des milieux de second gradient de dilatation [R5.04.03]. Cette valeur est une fonction des paramètres matériau, de l’état de contraintes et des valeurs des variables internes à l’instant de calcul [1].

1.5. Références bibliographiques#

[1] Foucault A. « Modélisation du comportement cyclique des ouvrages en terre intégrant des techniques de régularisation ». Thèse de Docteur, École Centrale Paris, Châtenay Malabry, France, 2010.

[2] Hamadi K. « Modélisation des bifurcations et des instabilités dans les géomatériaux ». Thèse de Docteur, École Centrale Paris, Châtenay Malabry, France, 2006