1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

La structure est un parallélépipède droit à base carrée et sain. Les dimensions du bloc (voir[ Figure -1.1-a ]) sont: \(\mathrm{LX}=5m\) , \(\mathrm{LY}=20m\) et \(\mathrm{LZ}=20m\) . Il ne comporte aucune fissure.

L’interface est introduite par des fonctions de niveaux (level sets) directement dans le fichier de commandes à l’aide de l’opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. L’interface est présente au milieu de la structure par le biais de sa représentation par les level sets. La level set normale (\(\mathrm{LSN}\) ) permet de définir une interface plane faisant un angle \(\theta\) avec le plan \(\mathrm{Oxy}\) par l’équation suivante:

\(\mathrm{LSN}=Z-(\mathrm{aY}+b)\) éq 1.1-1

où \(a\) est la pente de l’interface, soit \(a=-\tan(\theta )\) et \(b=\frac{\mathrm{LZ}}{2}-a\frac{\mathrm{LY}}{2}\) .

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Figure ‑ 1.1-a : Géométrie du barreau et positionnement de l’interface

En \(\mathrm{2D}\) , on a une structure équivalente.

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Figure 1.1-b : Géométrie et positionnement de l’interface en \(\mathrm{2D}\)

1.2. Propriétés du matériau#

Module d’Young : \(E=100\mathrm{MPa}\)

Coefficient de Poisson : \(\nu =0\) .

1.3. Conditions aux limites et chargements#

Les nœuds de la face inférieure du barreau sont encastrés et un déplacement \(\mathrm{UZ}=-{10}^{-6}m\) est imposé sur ceux de la face supérieure qui correspond à un chargement en pression suivant l’axe \(z\) . Les déplacements suivant les axes \(x\) et \(y\) sont bloqués pour les nœuds de la surface supérieure. En \(\mathrm{2D}\) , le déplacement s’effectue selon l’axe \(y\) .

1.4. Caractéristiques du maillage#

La structure est modélisée en \(\mathrm{3D}\) par un maillage régulier composé de \(5\times 20\times 20\) HEXA8 [Figure 1.4-a].

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Figure ‑ 1.4-a : Maillage \(\mathrm{3D}\)

Ce maillage est composé d’éléments finis linéaires. Cependant, dans le cadre de la méthode continue [bib1] avec X-FEM [bib2], il est nécessaire de passer à des éléments linéaires un peu spéciaux. Ces éléments ont des fonctions de forme linéaires et une maille support quadratique. Sur ces éléments, les nœuds sommet portent les inconnues du déplacement, et les nœuds milieu portent les inconnues liées au contact. De plus, lorsque l’interface suit la bordure d’un élément, les nœuds sommet de l’élément portent aussi les inconnues de contact.

Pour les cas-test \(\mathrm{2D}\) , la structure est modélisée par un maillage régulier composé de \(20\times 20\) QUAD4.

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Figure ‑ 1.4-b : Maillage \(\mathrm{2D}\)

1.5. Bibliographie#

  1. MASSIN P., BEN DHIA H., ZARROUG M.: Éléments de contacts dérivés d’une formulation hybride continue, Manuel de référence du Code_Aster , [R5.03.52]

  1. MASSIN P., GENIAUT S.: Méthode X-FEM, Manuel de référence du Code_Aster , [R7.02.12]

  1. TARDIEU N., VAUTIER I., LORENTZ E.: Algorithme non linéaire quasi-statique, Manuel de Référence du Code_Aster , [R5.03.01]

  2. DHATT G., TOUZOT G.: Une présentation de la méthode des éléments finis, Maloine Ed., PARIS