1. Problème de référence#
1.1. Géométrie et conditions aux limites#
L’élément utilisé est un tétraèdre à un point de gauss. Il n’y a donc pas de problème d’homogénéité des champs dans l’élément.
Les conditions de blocages et les relations linéaires entre les nœuds qu’il faut appliquer sont résumées sur la [Figure 1.1-a]. Les arêtes \(\mathrm{N0N1}\) , \(\mathrm{N0N2}\) et \(\mathrm{N0N3}\) sont de longueur 1.
Compte tenu de la géométrie de l’élément, des conditions de blocages et des relations linéaires, la déformation est directement reliée aux déplacements des nœuds:
\({\varepsilon}_{xx}=\mathit{DX}(\mathit{N1})\)
\({\varepsilon}_{yy}=\mathit{DY}(\mathit{N2})\)
\({\varepsilon}_{zz}=\mathrm{DZ}(\mathrm{N3})\)
\({\varepsilon}_{xy}=\mathit{DX}(\mathit{N2})=\mathit{DY}(\mathit{N1})\)
\({\varepsilon}_{xz}=\mathit{DX}(\mathit{N3})=\mathit{DZ}(\mathit{N1})\)
\({\varepsilon}_{yz}=\mathit{DY}(\mathit{N3})=\mathit{DZ}(\mathit{N2})\)
Si on travaille à déformation imposée, il suffit donc d’imposer les déplacement aux nœuds adéquats.
Si on souhaite travailler à force imposée, comme c’est le cas pour la modélisation E, il faut imposer les chargements suivants(voir la [Figure 1.1-a] pour la définition des faces \(\mathrm{F1}\) , \(\mathrm{F2}\) , \(\mathrm{F3}\) et \(\mathrm{F4}\) ):
\({\sigma}_{xx}>0\) : \(\mathrm{FX}\) sur \(\mathrm{F1}\) et \(-1/\sqrt{3}\mathrm{FX}\) sur \(\mathrm{F4}\) , \(\mathrm{FX}<0\) (traction selon \(x\) )
\({\sigma}_{xx}<0\) : \(\mathrm{FX}\) sur \(\mathrm{F1}\) et \(-1/\sqrt{3}\mathrm{FX}\) sur \(\mathrm{F4}\) , \(\mathrm{FX}<0\) (compression selon \(x\) )
\({\sigma}_{yy}>0\) : \(\mathrm{FY}\) sur \(\mathrm{F2}\) et \(-1/\sqrt{3}\mathrm{FY}\) sur \(\mathrm{F4}\) , \(\mathrm{FY}<0\) (traction selon \(y\) )
\({\sigma}_{yy}<0\) : \(\mathrm{FY}\) sur \(\mathrm{F2}\) et \(-1/\sqrt{3}\mathrm{FY}\) sur \(\mathrm{F4}\) , \(\mathrm{FY}<0\) (compression selon \(y\) )
\({\sigma}_{zz}>0\) : \(\mathrm{FZ}\) sur \(\mathrm{F3}\) et \(-1/\sqrt{3}\mathrm{FZ}\) sur \(\mathrm{F4}\) , \(\mathrm{FZ}<0\) (traction selon \(z\) )
\({\sigma}_{zz}<0\) : \(\mathrm{FZ}\) sur \(\mathrm{F3}\) et \(-1/\sqrt{3}\mathrm{FZ}\) sur \(\mathrm{F4}\) , \(\mathrm{FZ}<0\) (compression selon \(z\) )
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Traction/compression en déplacement imposé: Selon \(x\) \(\mathrm{DX}\) imposé sur \(\mathrm{N1}\) Selon \(y\) \(\mathrm{DY}\) imposé sur \(\mathrm{N2}\) Selon \(z\) \(\mathrm{DZ}\) imposé sur \(\mathrm{N3}\) |
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Définition des faces:
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Figure 1.1-a: Géométrie et conditions aux limites des tests uniaxiaux
1.2. Propriétés de matériaux#
Les caractéristiques matériaux sont identiques pour les 5 tests qui sont présentés.
Les caractéristiques élastiques du matériaux sont les suivantes:
\(E=32000\mathit{Mpa}\) ; \(\nu =0.2\)
Les contraintes de rupture en traction et en compression sont:
\({\sigma}_{\mathit{rupture}}^{\mathit{traction}}=3.2\mathit{MPa}\) ; \({\sigma}_{\mathit{rupture}}^{\mathit{compression}}=-31.8\mathit{MPa}\)
On utilise le jeu de paramètre suivant pour la loi de comportement:
\(\mathit{ALPHA}\) |
\(\mathit{K0}(\mathit{Mpa})\) |
\(\mathit{ECROB}(\mathit{MJ}/{m}^{3})\) |
\(\mathit{ECROD}(\mathit{MJ}/{m}^{3})\) |
\({K}_{1}(\mathit{Mpa})\) |
\({K}_{2}\) |
0.87 |
3.10-4 |
1.10-3 |
6.10-2 |
10.5 |
6.10-4 |
Remarque:
Il existe plusieurs jeux de paramètres qui fournissent les mêmes contraintes de rupture. Les paramètres ont été identifiés pour que l’enveloppe de rupture des essais biaxiaux ne présente pas de gonflement (cf doc. [R7.01.09]).
Les réponses du modèle pour les tests uniaxiaux sont représentées ci-dessous.
Figure 1 . 2-a: Réponse de la loi ENDO_ORTH_BETON en traction simple
Figure 1 *.2-b: Réponse de la loi* ENDO_ORTH_BETON en compression simple
Les variables internes, qui sont numérotées dans Aster, ont la signification suivante:
\(\mathit{V1}={D}_{xx};\mathit{V2}={D}_{yy};\mathit{V3}={D}_{zz};\mathit{V4}={D}_{xy};\mathit{V5}={D}_{xz};\mathit{V6}={D}_{yz};\mathit{V7}=d;\)
Où \(D\) est le tenseur représentant l’endommagement orthotrope de traction, et \(d\) est l’endommagement isotrope de compression (cf. doc. [R7.01.09]).