2. Solution de référence

2.1. Équations d’équilibre

L’étude est réalisée autour de la position initiale de la structure dans le plan \(xy\) . Les équations sont écrites au centre de gravité de la poutre.

Effort d’inertie :

\(M.{\gamma}_{g}=\left\lbrace \begin{array}{}\mathrm{Mx}''\\ \mathrm{My}''\\ \frac{M{L}^{2}}{12}.\theta ''\end{array}\right\rbrace\)

Effort au point \(\mathrm{A1}\)

\(\mathrm{Fa}=\left\lbrace \begin{array}{}-\mathrm{kxa}.\delta \mathrm{xa}\\ -\mathrm{kya}.\delta \mathrm{ya}\\ \mathrm{L.}(\delta \mathrm{ya}.\mathrm{kya}.\cos({\theta}_{0}+\theta )-\delta \mathrm{xa}.\mathrm{kxa}.\sin({\theta}_{0}+\theta ))/2\end{array}\right\rbrace \begin{array}{}\text{avec les déplacements du point}\mathrm{A1}\\ \delta \mathrm{xa}=\mathrm{L.cos}({\theta}_{0})/2-\mathrm{L.cos}({\theta}_{0}+\theta )/2+x\\ \delta \mathrm{ya}=\mathrm{L.sin}({\theta}_{0})/2-\mathrm{L.sin}({\theta}_{0}+\theta )/2+y\end{array}\)

Effort au point \(\mathrm{B1}\)

\(\mathrm{Fb}=\left\lbrace \begin{array}{}-\mathrm{kxb}.\delta \mathrm{xb}\\ -\mathrm{kyb}.\delta \mathrm{yb}\\ \mathrm{L.}(-\delta \mathrm{yb}.\mathrm{kyb}.\cos({\theta}_{0}+\theta )+\delta \mathrm{xb}.\mathrm{kxb}.\sin({\theta}_{0}+\theta ))/2\end{array}\right\rbrace \begin{array}{}\text{avec les déplacements du point}\mathrm{B1}\\ \delta \mathrm{xb}=-\mathrm{L.cos}({\theta}_{0})/2+\mathrm{L.cos}({\theta}_{0}+\theta )/2+x\\ \delta \mathrm{yb}=-\mathrm{L.sin}({\theta}_{0})/2+\mathrm{L.sin}({\theta}_{0}+\theta )/2+y\end{array}\)

Effort dû au vent

• Vitesse relative d’un point \(M\)

\({V}_{r}=\left\lbrace \begin{array}{}\mathrm{Vvx}+\mathrm{s.}\sin({\theta}_{0}+\theta ).\theta '-x'\\ \mathrm{Vvy}-\mathrm{s.}\cos({\theta}_{0}+\theta ).\theta '-y'\\ 0\end{array}\right\rbrace\)

avec	\(s\) : l’abscisse curviligne du point \(M\) sur la poutre \(s\in [–L/2,L/2]\)
	\(\mathrm{Vvx}\) , \(\mathrm{Vvy}\) : vitesse du vent suivant l’axe x et l’axe \(y\) .

• Vitesse relative perpendiculaire à la barre au point M :

\({V}_{p}=\left\lbrace \begin{array}{}\sin({\theta}_{0}+\theta ).(-\mathrm{Vvy}.\cos({\theta}_{0}+\theta )+\mathrm{Vvx.}\sin({\theta}_{0}+\theta )+s.\theta '-\sin({\theta}_{0}+\theta ).x'+\cos({\theta}_{0}+\theta ).y')\\ \cos({\theta}_{0}+\theta ).(\mathrm{Vvy}.\cos({\theta}_{0}+\theta )-\mathrm{Vvx.}\sin({\theta}_{0}+\theta )-s.\theta '+\sin({\theta}_{0}+\theta ).x'-\cos({\theta}_{0}+\theta ).y')\\ 0\end{array}\right\rbrace\)

Force due au vent en un point \(M\)

\({\mathrm{Fvent}}_{(M)}={\mathrm{Fcx}}_{(M)}.\frac{{V}_{p}}{∥{V}_{p}∥}\) dans notre cas on choisit \({\mathrm{Fcx}}_{(M)}=∥{V}_{p}∥\)

on obtient donc \({\mathrm{Fvent}}_{(M)}={V}_{p}\)

• Résultante de la force due au vent sur la barre

\(\mathrm{Fvent}=\left\lbrace \begin{array}{}L.\sin({\theta}_{0}+\theta ).((-\mathrm{Vvy}+y').\cos({\theta}_{0}+\theta )+(\mathrm{Vvx}-x').\sin({\theta}_{0}+\theta ))\\ L.\cos({\theta}_{0}+\theta ).((\mathrm{Vvy}-y').\cos({\theta}_{0}+\theta )+(-\mathrm{Vvx}+x').\sin({\theta}_{0}+\theta ))\\ -{L}^{3}.\theta '/12\end{array}\right\rbrace\)

Équation finale de la dynamique

\(M.{\gamma}_{g}=\mathrm{Fa}+\mathrm{Fb}+\mathrm{Fvent}\)

2.2. Grandeurs et résultats de référence

Déplacements et rotation du point \(G\) aux instants : \(\mathrm{2.0sec}\) , \(\mathrm{3.0sec}\) , \(\mathrm{4.0sec}\) , \(\mathrm{5.0sec}\) et \(\mathrm{6.0sec}\) .

2.3. Incertitudes sur la solution

Aucune. La résolution de l’équation d’équilibre se fait par une méthode d’intégration de Runge Kutta d’ordre 4.