2. Solution de référence#
On s’intéresse au calcul de solutions périodiques du système caractérisant ainsi le mode non-linéaire [1].
2.1. Méthode de calcul#
Si on note \(u\) le déplacement de la masse et \(F\) la force de réaction, l’équation du système s’écrit:
Où:
\(F(u)=0\) si \(u\le e\)
\(F(u)=K(u-e)\) si \(u>e\)
On suppose les conditions initiales suivantes:
\(\dot{u}(0)=-\sqrt{\frac{2E}{m}}\) et \(u(0)=0\)
Où \(E\) désigne l’énergie mécanique emmagasinée.
On résout le problème en considérant deux problèmes linéaires. Le premier correspond au vol libre (hors impact), et le deuxième correspond au système avec la masse solidaire à la paroi (pendant l’impact).
Après calcul, on obtient la durée \({T}_{1}\) de la phase de vol libre:
\({T}_{1}=2\sqrt{\frac{m}{k}}\arccos(-e\sqrt{\frac{k}{2E}})\)
Et la durée de l’impact \({T}_{2}\) est donnée par la relation suivante:
\({T}_{2}=2\sqrt{\frac{m}{K+k}}\arccos(ek\sqrt{\frac{1}{2E(K+k)}})\)
La fréquence de la solution périodique est donc égale à: \(N(E)=\frac{1}{{T}_{1}+{T}_{2}}\)
La stabilité de la solution périodique est calculée en se basant sur la théorie de Floquet, par un schéma de Newmark et un calcul aux valeurs propres.
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
Les grandeurs de référence choisies sont le couple fréquence – énergie et la stabilité de la solution périodique obtenue.
La solution périodique est stable pour le couple fréquence – énergie tel que:
\(0.644\mathit{Hz}<f<0.6475\mathit{Hz}\) et \(6.2{10}^{-3}J<E<6.9{10}^{-3}J\)
2.3. Incertitudes sur la solution#
La relation entre la fréquence et l’énergie est obtenue analytiquement.
2.4. Références bibliographiques#
MOUSSI, Analyse de structures vibrantes dotées de non-linéarités localisées à jeu à l’aide des modes non-linéaires. Thèse de doctorat 2013.