2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
La pulsation du système est notée \({\omega}_{0}\) et est telle que \({\omega}_{0}^{2}=\frac{k}{m}\) .
Phase d’adhérence
A l’instant \(t=0\) , la masse \({m}_{1}\) vérifie
\({x}_{1}(t)=0\)
\(\dot{{x}_{1}}(t)=0\)
et la masse \({m}_{2}\) vérifie
\({x}_{2}(t)=0\)
\(\dot{{x}_{2}}(t)=0\) .
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse \({m}_{2}\) permet d’écrire l’équation suivante
\(\ddot{{x}_{2}}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}=\frac{F}{m}\) ,
et sur la masse \({m}_{1}\) l’équation suivante
\({F}_{T}=-k{x}_{2}\)
La solution générale de \({x}_{2}\) est de la forme :
\({x}_{2}=\tilde{A}\cos({\omega}_{0}t)+\tilde{B}\sin({\omega}_{0}t)+\frac{F}{(m{\omega}_{0}^{2})}\)
où \(\tilde{A}\) et \(\tilde{B}\) sont des constantes.
En tenant compte des conditions initiales, le déplacement de la masse \({m}_{2}\) s’écrit donc
\({x}_{2}=\frac{F}{k}[1-\cos({\omega}_{0}t)]\) .
Cette expression est valable jusqu’à ce que
\(∥{F}_{T}∥=\mu {F}_{N}\)
Autrement dit, jusqu’à l’instant \({t}_{1}\) vérifiant l’expression suivante
\(F[1-\cos({\omega}_{0}{t}_{1})]={\mu}_{S}{F}_{N}\)
La phase de glissement commence donc à \({t}_{1}\) défini par
\({t}_{1}=\frac{1}{{\omega}_{0}}\arccos(1-{\mu}_{S}\frac{{F}_{N}}{F})\)
Phase de glissement
A l’instant \(t={t}_{1}\) , la masse \({m}_{1}\) vérifie
\({x}_{1}({t}_{1})=0\)
\(\dot{x}{}_{1}({t}_{1})=0\)
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse \({m}_{1}\) permet d’écrire l’équation
\(\ddot{x}{}_{1}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{1}=\frac{-{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}\) ,
et sur la masse \({m}_{2}\) l’équation
\(\ddot{x}{}_{2}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}=\frac{F}{m}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{1}\) .
En faisant le changement de variables
\(\lbrace \begin{array}{}X={x}_{1}+{x}_{2}\\ Y={x}_{1}-{x}_{2}\\ {\Omega}_{0}=\sqrt{2}{\omega}_{0}\end{array}\)
le système précédent s’écrit
\(\begin{array}{}\ddot{X}=\frac{F-{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}\\ \ddot{Y}+{\Omega}_{0}^{2}Y=-\frac{F+{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}\end{array}\)
Pour \(t\ge {t}_{1}\) , la solution générale de \(X\) est de la forme
\(X=\frac{(F-{\mu}_{D}{F}_{N})}{\mathrm{2m}}{(t-{t}_{1})}^{2}+\tilde{C}(t-{t}_{1})+\tilde{D}\) .
et celle de \(Y\) est de la forme
\(Y=\tilde{E}\cos({\Omega}_{0}(t-{t}_{1}))+\tilde{F}\sin({\Omega}_{0}(t-{t}_{1}))-\frac{F+{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2k}}\) .
En tenant compte des conditions initiales, les expressions des constantes \(\tilde{C}\) , \(\tilde{D}\) , \(\tilde{E}\) et \(\tilde{F}\) valent :
\(\begin{array}{}\tilde{C}=\dot{x}{}_{2}({t}_{1})\\ \tilde{D}={x}_{2}({t}_{1})\\ \tilde{E}=\frac{F+{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2k}}-{x}_{2}({t}_{1})\\ \tilde{F}=-\frac{\dot{x}{}_{2}({t}_{1})}{{\Omega}_{0}}\end{array}\)
Les déplacements \({x}_{1}\) et \({x}_{2}\) sont déduits des expressions précédentes.
Phase de glissement avec un chargement \(F=0\) à partir de \({t}_{2}\) (arbitraire mais supérieur à \({t}_{1}\) ) jusqu’à l’instant \({t}_{3}\) (instant de retour à la phase l’adhérence)
Le principe fondamental de la dynamique présenté précédemment est toujours valable. Pour la masse \({m}_{1}\) , l’équation vérifiée est la même :
\(\ddot{x}{}_{1}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{1}=\frac{-({\mu}_{D}{F}_{N})}{m}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}\) ,
et pour la masse \({m}_{2}\)
\(\ddot{x}{}_{2}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}={\omega}_{0}^{2}{x}_{1}\)
Avec le même changement de variable que précédemment, le système s’écrit
\(\begin{array}{}\ddot{X}=-\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}\\ \ddot{Y}+{\Omega}_{0}^{2}Y=-\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}\end{array}\)
Pour \(t>{t}_{2}\) , la solution générale de \(X\) est de la forme
\(X=-\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2m}}{(t-{t}_{2})}^{2}+\tilde{G}(t-{t}_{2})+\tilde{H}\)
La solution générale de \(Y\) est de la forme
\(Y=\tilde{I}\cos({\Omega}_{0}(t-{t}_{2}))+\tilde{J}\sin({\Omega}_{0}(t-{t}_{2}))-\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2k}}\)
En tenant compte des conditions initiales, les expressions des constantes \(\tilde{G}\) , \(\tilde{H}\) , \(\tilde{I}\) et \(\tilde{J}\) valent :
\(\begin{array}{}\tilde{G}=\dot{x}{}_{1}({t}_{2})+\dot{x}{}_{2}({t}_{2})\\ \tilde{H}={x}_{1}({t}_{2})+{x}_{2}({t}_{2})\\ \tilde{J}=\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2k}}+{x}_{1}({t}_{2})-{x}_{2}({t}_{2})\\ \tilde{J}=\frac{\dot{x}{}_{1}({t}_{2})-\dot{x}{}_{2}({t}_{2})}{{\Omega}_{0}}\end{array}\)
Les déplacements \({x}_{1}\) et \({x}_{2}\) sont déduits des expressions précédentes.
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
Les grandeurs testées sont la cinématique des masses \({m}_{1}\) et \({m}_{2}\) à différents instants dans les différentes phases de la modélisation. Sont également testés les instants de transition suivants :
passage de la phase d’adhérence à la phase de glissement (instant \({t}_{1}\) ) ;
passage de la phase de glissement à la phase d’adhérence (instant \({t}_{3}\) ).
2.3. Incertitudes sur la solution#
Solution analytique exacte.
2.4. Références bibliographiques#
BOYERE : Modélisation des chocs et du frottement en analyse transitoire par recombinaison modale. Documentation de référence de Code_Aster R5.06.03. Septembre 2009.