2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Pendant la phase d’impact, le système est solution de l’équation différentielle:
\(m.\ddot{u}+\mathit{k.u}+{K}_{c}<u{>}^{+}=0\) avec \({u}_{0}=0\) et \(\dot{{u}_{0}}=\dot{{U}_{0}}\) .
\(<x{>}^{+}\) désigne la valeur positive de \(x\) .
La solution analytique de ce problème est:
\(u=\frac{\dot{{U}_{0}}}{{\omega}_{c}}\sin({\omega}_{c}t)\) où \({\omega}_{c}=\sqrt{\frac{k+{K}_{c}}{m}}\) .
La vitesse s’annule pour \({t}_{\dot{u}=0}=\frac{\pi}{2{\omega}_{c}}\) .
La force de choc est alors maximale et vaut \({F}_{\max}={K}_{c}u({t}_{\dot{u}=0})={K}_{c}\frac{\dot{{U}_{0}}}{{\omega}_{c}}\) .
Par construction, la durée du choc vaut \({T}_{\mathrm{choc}}=2{t}_{\dot{u}=0}\) .
Le système revient à la position \(u=0\) avec la vitesse \(-\dot{{U}_{0}}\) .
Dans le domaine \(u<0\) le système a pour équation \(\mathrm{m.}\ddot{u}+\mathrm{k.u}=0\) avec pour conditions initiales \({u}_{1}=0\) et \(\dot{{u}_{1}}=-\dot{{U}_{0}}\) .
Sa solution est \(u=-\frac{\dot{{U}_{0}}}{{\omega}_{0}}\sin({\omega}_{0}t')\) où \({\omega}_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\) .
La vitesse s’annule pour: \(t{'}_{\dot{u}=0}=\frac{\pi}{2{\omega}_{0}}\) .
Par construction, le temps de vol libre vaut: \({T}_{\mathrm{vol}}=2t{'}_{\dot{u}=0}\) .
Le système est donc périodique avec alternativement une phase de temps de choc de durée \({T}_{\mathrm{choc}}\) où le système décrit une arche de sinus dans le domaine des \(u>0\) et une phase de vol libre de durée \({T}_{\mathrm{vol}}\) où le système décrit une arche de sinus dans le domaine des \(u<0\) .
L’impulsion à chaque impact vaut: \(I=\underset{0}{\overset{{T}_{\mathrm{choc}}}{\int}}{K}_{c}u(t)\mathrm{dt}=2{K}_{c}\frac{\dot{{U}_{0}}}{{\omega}_{c}^{2}}=\frac{2m\dot{{U}_{0}}}{1+\frac{k}{{K}_{c}}}\) .
2.2. Résultats de référence#
Les résultats pris pour référence sont les valeurs des instants de force maximale, la valeur de force maximale, la durée du temps de choc, la valeur de l’impulsion et de la vitesse d’impact ainsi que le nombre d’impact élémentaires pour les deux premières oscillations du système.
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
G.JACQUART: Post-traitement des calculs de cœur et d’internes REP sous sollicitation sismique - HP-61/95/074/A.