2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
Il faut résoudre : \(\rho \mathrm{Cp}\frac{\mathrm{dT}(x,t)}{\mathrm{dt}}=\lambda (t)\frac{\mathrm{dT}(x,t)}{\mathrm{dx}}\) avec la condition initiale \(T(x,0)=100\) et les conditions aux limites : \(-\lambda (t){\frac{\partial T}{\partial x}\mid }_{x=0}=-1\) et \(T(L,t)=100\)
On résout cette équation différentielle avec un schéma itératif de Crank-Nicholson [1] sous scilab.
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
On observe la température au bord \(x=0\) et au milieu du mur \(x=\frac{L}{2}\) . Lorsque la conductivité augmente entre 50 et 55 secondes, la température au milieu diminue plus rapidement. La chaleur perdue se propage vers les bords où on observe un réchauffement. Ce phénomène est aussi observé lors de calcul de séchage lorsque le coefficient de diffusion dépend de la température. On voit alors une ré-humidification du bord.
Pour la référence du cas test, on relève les valeurs de la température en \(x=0\) et en \(x=\frac{L}{2}\) à différents instants correspondant à l’apparition du saut de température au pic et à la fin du calcul.
50s |
51s |
72s |
200s |
|
x=0 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
x=L/2 |
0.0000 |
Non testée |
0.0000 |
0.0000 |
2.3. Incertitudes sur la solution#
La méthode de résolution nécessite des pas en temps et en espace suffisamment petits pour capter correctement le pic de température. Ici on a utilisé \(\mathrm{dx}=0,05m\) et \(\mathrm{dt}=0,01s\) .
2.4. Références bibliographiques#
Crank, The mathematics of diffusion, Oxford University Press, second edition 1975.