2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

• Problème élastostatique \(V\) potentiel électrique

Dans le volume \(\Delta V=0.\)

Conditions aux limites NEUMANN \(\lbrace \begin{array}{cc}\mathrm{j.n}=0.& \text{sur}\mathrm{CD}\text{et}\mathrm{AB}\\ \mathrm{j.n}=-10.& \text{sur}\mathrm{AD}\\ \mathrm{j.n}=3.6787944& \text{sur}\mathrm{BC}\end{array}\)

conductivité électrique \(\sigma =1.\)

\(j.n=-\sigma \nabla V\)

Solution axisymétrique

\(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial V}{\partial r})=0\Rightarrow V={V}_{0}\log\frac{r}{A}\)

Les conditions aux limites sur \(\mathrm{AD}\) et \(\mathrm{BC}\) imposent:

\({V}_{0}=10.\)

Remarque:

La connaissance de \(A\) n’est pas nécessaire pour le calcul thermique.

• Problème thermique \(T\) la température

\(-\lambda \Delta T=s\) avec une source volumique \(s=\sigma {(\nabla V)}^{2}\)

Conditions aux limites : \(T=0.\) sur \(\mathrm{DA}\) et \(\mathrm{BC}\)

\(-\lambda \nabla T.n=0\) sur \(\mathrm{DC}\) et \(\mathrm{AB}\)

Solution axisymétrique:

\(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial T}{\partial r})=-\frac{\sigma}{1}\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}^{2}}\) \(\Rightarrow\) compte tenu des conditions aux limites

\(T(r)=-\frac{1}{2}\sigma \frac{{v}_{0}^{2}}{\lambda}\log(\frac{r}{{R}_{0}})\log(\frac{r}{{R}_{1}})\)

2.2. Résultats de référence

\(T=588.9313°C\) (température au point \(M\) ).

2.3. Incertitude sur la solution

Solution analytique.