Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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*   Problème élastostatique :math:`V` potentiel électrique

Dans le volume :math:`\Delta V=0.`

Conditions aux limites NEUMANN :math:`\lbrace \begin{array}{cc}\mathrm{j.n}=0.& \text{sur}\mathrm{CD}\text{et}\mathrm{AB}\\ \mathrm{j.n}=-10.& \text{sur}\mathrm{AD}\\ \mathrm{j.n}=3.6787944& \text{sur}\mathrm{BC}\end{array}`

conductivité électrique :math:`\sigma =1.`

:math:`j.n=-\sigma \nabla V`

Solution axisymétrique

:math:`\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial V}{\partial r})=0\Rightarrow V={V}_{0}\log\frac{r}{A}`

Les conditions aux limites sur :math:`\mathrm{AD}` et :math:`\mathrm{BC}` imposent:

:math:`{V}_{0}=10.`

Remarque:

*La connaissance de* :math:`A` *n’est pas nécessaire pour le calcul thermique.*


*   Problème thermique :math:`T` la température

:math:`-\lambda \Delta T=s` avec une source volumique :math:`s=\sigma {(\nabla V)}^{2}`

Conditions aux limites :    :math:`T=0.` sur :math:`\mathrm{DA}` et :math:`\mathrm{BC}`

                     :math:`-\lambda \nabla T.n=0` sur :math:`\mathrm{DC}` et :math:`\mathrm{AB}`

Solution axisymétrique:

:math:`\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial T}{\partial r})=-\frac{\sigma}{1}\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}^{2}}` :math:`\Rightarrow` compte tenu des conditions aux limites

:math:`T(r)=-\frac{1}{2}\sigma \frac{{v}_{0}^{2}}{\lambda}\log(\frac{r}{{R}_{0}})\log(\frac{r}{{R}_{1}})`


Résultats de référence
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:math:`T=588.9313°C` (température au point :math:`M` ).


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.