2. Solution de référence#
2.1. Résultats de référence#
2.1.1. Premier cas#
On a un seul groupe de fonctionnement qui contient les situations 1, 2 et 3 mais la situation 1 est déclarée avec combinable=”NON”, c’est à dire qu’elle ne peut se combiner qu’avec elle même.
Seul le calcul du facteur d’usage total à l’origine est détaillé. On cherche à remplir le tableau des facteurs d’usage élémentaires.
On calcule d’abord les grandeurs par situations puis par combinaison.
Situation 1
On calcule le Sn de la situation.
Instant |
Contraintes thermiquessituation 1 |
\({\sigma}^{\mathit{moyen}}\) |
\({\sigma}^{\mathit{flexion}}\) |
\({\sigma}_{0}^{\mathit{lin}}\) |
\({\sigma}_{L}^{\mathit{lin}}\) |
||
Abscisse |
|||||||
0 |
1 |
2 |
|||||
1 |
50 |
100 |
150 |
100 |
50 |
50 |
150 |
2 |
0 |
50 |
-100 |
0 |
-50 |
50 |
-50 |
3 |
0 |
0 |
50 |
12,5 |
25 |
-12,5 |
37,5 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Tenseur unitaire |
Contrainte \({\sigma}_{yy}\) |
\({\sigma}^{\mathit{moyen}}\) |
\({\sigma}^{\mathit{flexion}}\) |
\({\sigma}_{0}^{\mathit{lin}}\) |
\({\sigma}_{L}^{\mathit{lin}}\) |
||
Abscisse |
|||||||
0 |
1 |
2 |
|||||
\({\mathit{Mom}}_{X}\) |
50 |
0 |
0 |
12,5 |
-25 |
37,5 |
-12,5 |
\({\mathit{Mom}}_{Y}\) |
0 |
50 |
0 |
25 |
0 |
25 |
25 |
\({\mathit{Mom}}_{Z}\) |
0 |
0 |
100 |
25 |
50 |
-25 |
75 |
\(\mathit{Pres}\) |
50 |
0 |
0 |
12,5 |
-25 |
37,5 |
-12,5 |
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}^{\mathit{SITU}1}=\begin{array}{c}({P}_{A}-{P}_{B}){\sigma}_{\mathit{PRES}}^{\mathit{LIN},0}+({M}_{\mathit{XA}}-{M}_{\mathit{XB}}){\sigma}_{\mathit{MX}}^{\mathit{LIN},0}+({M}_{\mathit{YA}}-{M}_{\mathit{YB}}){\sigma}_{\mathit{MY}}^{\mathit{LIN},0}+({M}_{\mathit{ZA}}-{M}_{\mathit{ZB}}){\sigma}_{\mathit{MZ}}^{\mathit{LIN},0}\\ \pm \Vert {\sigma}_{\mathit{THER}}^{\mathit{LIN}}({t}_{1})-{\sigma}_{\mathit{THER}}^{\mathit{LIN}}({t}_{2})\Vert \end{array}\)
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}^{\mathit{SITU}1}=(1-10)\ast 37,5+(1--10)\ast 37,5+(-1-1)\ast 25+(-1,5-0,1)\ast -25\pm \Vert 50--12,5\Vert\)
\({\mathit{Sn}}_{0}^{\mathit{SITU}1}=127,5\)
On calcule le Sp de la situation.
\({\sigma}_{\mathit{TOT},0}^{\mathit{SITU}1}=\begin{array}{c}({P}_{A}-{P}_{B}){\sigma}_{\mathit{PRES}}^{0}+({M}_{\mathit{XA}}-{M}_{\mathit{XB}}){\sigma}_{\mathit{MX}}^{0}+({M}_{\mathit{YA}}-{M}_{\mathit{YB}}){\sigma}_{\mathit{MY}}^{0}+({M}_{\mathit{ZA}}-{M}_{\mathit{ZB}}){\sigma}_{\mathit{MZ}}^{0}\\ \pm \Vert {\sigma}_{\mathit{THER}}({t}_{1})-{\sigma}_{\mathit{THER}}({t}_{2})\Vert \end{array}\)
\({\sigma}_{\mathit{TOT},0}^{\mathit{SITU}1}=(1-10)\ast 50+(1--10)\ast 50+(-1-1)\ast 0+(-1,5-0,1)\ast 0\pm \Vert 50-0\Vert\)
\({\mathit{Sp}}_{0}^{\mathit{SITU}1}=150\)
Pour \(\mathit{Sm}=200\mathit{MPa}\) , on a donc \(\mathit{Ke}=1\) et \({\mathit{Salt}}_{0}=\frac{1}{2}\frac{{E}_{c}}{E}\mathit{Ke}{\mathit{Sp}}_{0}=75\mathit{MPa}\) . D’après la courbe de Wöhler on a donc \({\mathit{Nadm}}_{0}=\frac{500000}{{\mathit{Salt}}_{0}}=6667\) soit \({\mathit{FU}}_{0}^{\mathit{SITU}1}=1,5{10}^{-4}\) .
Situation 2
De manière similaire pour la situation 2 qui a le même transitoire thermique et les mêmes torseurs en moments et pression que la situation 1, on a
\({\mathit{Sn}}_{0}^{\mathit{SITU}2}=127,5\) , \({\mathit{Sp}}_{0}^{\mathit{SITU}2}=150\) et \({\mathit{FU}}_{0}^{\mathit{SITU}2}=1,5{10}^{-4}\) .
Situation 3
On calcule le Sn de la situation.
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}^{\mathit{SITU}3}=(0,4-1)\ast 37,5+(0,4-1)\ast 37,5+(0--1)\ast 25+(-0,6--1,5)\ast -25\pm \Vert 50--12,5\Vert\)
\({\mathit{Sn}}_{0}^{\mathit{SITU}3}=105\)
On calcule le Sp de la situation.
\({\sigma}_{\mathit{TOT},0}^{\mathit{SITU}3}=(0,4-1)\ast 50+(0,4-1)\ast 50+(0--1)\ast 0+(-0,6--1,5)\ast 0\pm \Vert 50-0\Vert\)
\({\mathit{Sp}}_{0}^{\mathit{SITU}3}=110\)
Pour \(\mathit{Sm}=200\mathit{MPa}\) , on a donc \(\mathit{Ke}=1\) et \({\mathit{Salt}}_{0}=\frac{1}{2}\frac{{E}_{c}}{E}\mathit{Ke}{\mathit{Sp}}_{0}=55\mathit{MPa}\) soit \({\mathit{FU}}_{0}^{\mathit{SITU}3}=1,1{10}^{-4}\) .
Combinaison des situations 2 et 3
La situation 1 n’étant combinable qu’avec elle même,on calcule la combinaison des situations 2 et 3.
On calcule le Sn de la situation.
On maximise la partie sur les moments et la pression, il y a 4 possibilités:
Etat A de la situation 2 et état A de la situation 3.
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}=(1-0,4)\ast 37,5+(1-0,4)\ast 37,5+(-1-0)\ast 25+(-1,5--0,6)\ast -25=42,5\)
Etat A de la situation 2 et état B de la situation 3.
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}=(1-1)\ast 37,5+(1-1)\ast 37,5+(-1--1)\ast 25+(-1,5--1,5)\ast -25=0\)
Etat B de la situation 2 et état B de la situation 3.
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}=(10-1)\ast 37,5+(-10-1)\ast 37,5+(1--1)\ast 25+(0,1--1,5)\ast -25=-65\)
Etat B de la situation 2 et état A de la situation 3.
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}=(10-0,4)\ast 37,5+(-10-0,4)\ast 37,5+(1-0)\ast 25+(0,1--0,6)\ast -25=12,5\)
Au final on a \({\mathit{Sn}}_{0}^{\mathit{SITUS}2,3}=-65\pm \Vert 50--12,5\Vert =127,5\) .
On calcule le Sp de la combinaison de manière similaire.On maximise la partie sur les moments et la pression, il y a 4 possibilités:
Etat A de la situation 2 et état A de la situation 3.
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}=(1-0,4)\ast 50+(1-0,4)\ast 50+(-1-0)\ast 0+(-1,5--0,6)\ast 0=60\)
Etat A de la situation 2 et état B de la situation 3.
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}=(1-1)\ast 50+(1-1)\ast 50+(-1--1)\ast 0+(-1,5--1,5)\ast 0=0\)
Etat B de la situation 2 et état B de la situation 3.
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}=(10-1)\ast 50+(-10-1)\ast 50+(1--1)\ast 0+(0,1--1,5)\ast 0=-100\)
Etat B de la situation 2 et état A de la situation 3.
\({\sigma}_{\mathit{LIN},0}=(10-0,4)\ast 50+(-10-0,4)\ast 50+(1-0)\ast 0+(0,1--0,6)\ast 0=-40\)
Au final on a en combinant les instants 1 et 2,5 \({\mathit{Sp}}_{0}^{1}=-100\pm \Vert 50-0\Vert =150\) qui n’est pas plus grand que l’amplitude Sp de la situation 2 seule, la combinaison des situations 2 et 3 est donc ces deux situations prises séparément c’est à dire:
\({\mathit{Sp}}_{0}^{1}={\mathit{Sp}}_{0}^{\mathit{SITU}2}\) et \({\mathit{Sp}}_{0}^{2}={\mathit{Sp}}_{0}^{\mathit{SITU}3}\) et donc
\(\mathit{FU}={\mathit{FU}}_{0}^{\mathit{SITU}2}+{\mathit{FU}}_{0}^{\mathit{SITU}3}=\mathrm{1,5.}{10}^{-4}+\mathrm{1,1.}{10}^{-4}=\mathrm{2,6.}{10}^{-4}\) .
Le tableau des facteurs d’usage élémentaires à l’origine est donc
Situation 1 |
Situation 2 |
Situation 3 |
|
Situation 1 |
\(1,5{10}^{-4}\) |
_ |
_ |
Situation 2 |
_ |
\(1,5{10}^{-4}\) |
\(2,6{10}^{-4}\) |
Situation 3 |
_ |
_ |
\(1,1{10}^{-4}\) |
Sachant que \({\mathit{Nocc}}_{1}=1\) , \({\mathit{Nocc}}_{2}=7\) et \({\mathit{Nocc}}_{3}=10\) on a,
\({\mathit{FU}}_{\mathit{TOTAL}}^{\mathit{ORI}}=7\ast {\mathrm{2,6.10}}^{-4}+1\ast {\mathrm{1,5.10}}^{-4}+3\ast {\mathrm{1,1.10}}^{-4}={\mathrm{2,3.10}}^{-3}\) .
2.1.2. Deuxième cas#
On a deuxgroupesde fonctionnement. Le groupe 1contient les situations 1, 2 et le groupe 2 contient la situation 3 mais la situation 1 est déclarée avec combinable=”NON”, c’est à dire qu’elle ne peut se combiner qu’avec elle même.
Seul le calcul du facteur d’usage total à l’origine est détaillé. On connaît déjà le tableau des facteurs d’usage élémentaires. C’est le même que dans le premier exemple sauf que les situations 2 et 3 ne peuvent plus se combiner car elles ne sont pas dans le même groupe.
Situation 1 |
Situation 2 |
Situation 3 |
|
Situation 1 |
\(1,5{10}^{-4}\) |
_ |
_ |
Situation 2 |
_ |
\(1,5{10}^{-4}\) |
_ |
Situation 3 |
_ |
_ |
\(1,1{10}^{-4}\) |
Sachant que \({\mathit{Nocc}}_{1}=1\) , \({\mathit{Nocc}}_{2}=7\) et \({\mathit{Nocc}}_{3}=10\) on a,
\({\mathit{FU}}_{\mathit{TOTAL}}^{\mathit{ORI}}=1\ast {\mathrm{1,5.10}}^{-4}+7\ast {\mathrm{1,5.10}}^{-4}+10\ast {\mathrm{1,1.10}}^{-4}={\mathrm{2,3.10}}^{-3}\) .
2.1.3. Troisième cas#
On a deuxgroupesde fonctionnement et une situation de passage. Le groupe 1contient les situations 1 et 2 et le groupe 2 contient lessituations1 et 3.La situation 1 est une situation de passage entre les groupes 1 et 2, c’est à dire que les situations 2 et 3 ne peuvent être combinées que via ce passage.
Seul le calcul du facteur d’usage total à l’origine est détaillé. On connaît déjà certains termes du tableau des facteurs d’usage élémentaires. Il manque la combinaison des situations 1 et 2 et la combinaison de 1 et 3. On ne détaille pas le calcul de ces facteurs d’usage élémentaires.
Situation 1 |
Situation 2 |
Situation 3 |
|
Situation 1 |
\(1,5{10}^{-4}\) |
\(1,5{10}^{-4}\) |
\(2,5{10}^{-4}\) |
Situation 2 |
_ |
\(1,5{10}^{-4}\) |
\(2,6{10}^{-4}\) |
Situation 3 |
_ |
_ |
\(1,1{10}^{-4}\) |
Sachant que \({\mathit{Nocc}}_{1}=1\) , \({\mathit{Nocc}}_{2}=7\) et \({\mathit{Nocc}}_{3}=10\) on a,
\({\mathit{FU}}_{\mathit{TOTAL}}^{\mathit{ORI}}=1\ast {\mathrm{2,6.10}}^{-4}+6\ast {\mathrm{1,5.10}}^{-4}+9\ast {\mathrm{1,1.10}}^{-4}={\mathrm{2,15.10}}^{-3}\) .La première partie de ce facteur d’usage est due à la combinaison de 2 et 3 à laquelle on applique le nombre d’occurrences \(\mathit{Nocc}=min({\mathit{Nocc}}_{2,}{\mathit{Nocc}}_{3,}\mathit{Npass})=min({\mathit{Nocc}}_{2,}{\mathit{Nocc}}_{3,}{\mathit{Nocc}}_{1})=1\) .
2.1.4. Quatrième cas#
On a deuxgroupesde fonctionnement. Le groupe 1contient les situations 1, 2 et le groupe 2 contient la situation 3 mais la situation 1 est déclarée avec combinable=”NON”, c’est à dire qu’elle ne peut se combiner qu’avec elle même.Il existe un groupe de partage mais qui ne contient que la situation 3.
Ce quatrième cas est donc similaire au deuxième cas. Soit
\({\mathit{FU}}_{\mathit{TOTAL}}^{\mathit{ORI}}=1\ast {\mathrm{1,5.10}}^{-4}+7\ast {\mathrm{1,5.10}}^{-4}+10\ast {\mathrm{1,1.10}}^{-4}={\mathrm{2,3.10}}^{-3}\)
2.1.5. Cinquième cas#
On a deuxgroupesde fonctionnement. Le groupe 1contient lasituation 1 et le groupe 2 contient lessituations2 et 3. Il existe un groupe de partage qui contient les situations 2 et3.
Le tableau des facteurs d’usage élémentaires est l
Situation 1 |
Situation 2 |
Situation 3 |
|
Situation 1 |
\(1,5{10}^{-4}\) |
_ |
_ |
Situation 2 |
_ |
\(1,5{10}^{-4}\) |
\(2,6{10}^{-4}\) |
Situation 3 |
_ |
_ |
\(1,1{10}^{-4}\) |
Sachant que \({\mathit{Nocc}}_{1}=1\) , \({\mathit{Nocc}}_{2}=10\) et \({\mathit{Nocc}}_{3}=10\) on a,
\({\mathit{FU}}_{\mathit{TOTAL}}^{\mathit{ORI}}=10\ast {\mathrm{2,6.10}}^{-4}+1\ast {\mathrm{1,5.10}}^{-4}={\mathrm{2,75.10}}^{-3}\)
2.1.6. Sixième cas#
On a deuxgroupesde fonctionnement. Le groupe 1contient lessituation 1 et 2 mais la situation 1 n’est combinable qu’avec elle même. Le groupe 2 contient lasituation3. Il existe un groupe de partage qui contient les situations 2 et3.
Le tableau des facteurs d’usage élémentaires est l
Situation 1 |
Situation 2 |
Situation 3 |
|
Situation 1 |
\(1,5{10}^{-4}\) |
_ |
_ |
Situation 2 |
_ |
\(1,5{10}^{-4}\) |
_ |
Situation 3 |
_ |
_ |
\(1,1{10}^{-4}\) |
Sachant que \({\mathit{Nocc}}_{1}=1\) , \({\mathit{Nocc}}_{2}=7\) et \({\mathit{Nocc}}_{3}=10\) on a,
\({\mathit{FU}}_{\mathit{TOTAL}}^{\mathit{ORI}}=1\ast {\mathrm{1,5.10}}^{-4}+7\ast {\mathrm{1,5.10}}^{-4}+3\ast {\mathrm{1,1.10}}^{-4}={\mathrm{1,53.10}}^{-3}\)
2.2. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.