2. Solution de référence

2.1. Méthodes de calcul utilisées pour les solutions de référence

Dans le repère local de la poutre, l’équation relative au déplacement \({U}_{x}\) (sans négliger l’allongement) est donnée par:

\(\frac{\partial}{\partial x}\left(ES(x)\frac{\partial {U}_{x}}{\partial x}\right)+\rho S\left(x\right){\omega}^{2}\left(x+{U}_{x}\right)=0.\text{ }\)

Les conditions aux limites associées à cette équation s’écrivent: \(\begin{array}{}{U}_{x}(0)=0\\ \frac{\partial {U}_{x}}{\partial x}(L)={\sigma}_{xx}(L)=0\end{array}\) .

2.1.1. Cas d’une section constante – Solution analytique

Dans le cas d’une section constante (modélisations A, B, C et D), l’équation ci-dessus peut être simplifiée comme suit:

\(\frac{{\partial}^{2}{U}_{x}}{\partial {x}^{2}}+\frac{\rho}{E}{\omega}^{2}(x+{U}_{x})=0\) .

On pose \(\alpha =\sqrt{\frac{\rho {\omega}^{2}}{E}}\) . En intégrant l’équation différentielle précédente, on obtient, dans le repère de la poutre :

\({U}_{x}(x)=\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha \cos(\alpha L)}-x\) \({U}_{y}={U}_{z}=0\)

Dans le repère global, le déplacement en tout point de la poutre s’écrit donc :

\(\begin{array}{}{U}_{x}(X,Y,Z)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{\sin(\alpha r)}{\alpha \cos(\alpha L)}-r)\\ {U}_{y}(X,Y,Z)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{\sin(\alpha r)}{\alpha \cos(\alpha L)}-r)\\ {U}_{z}(X,Y,Z)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{\sin(\alpha r)}{\alpha \cos(\alpha L)}-r)\end{array}\) ,

avec \(r=\sqrt{{X}^{2}+{Y}^{2}+{Z}^{2}}\) .

2.1.2. Cas d’une section variable – Solution numérique

Dans le cas de la poutre à section variable de la modélisation E, la solution de référence considérée provient d’un calcul Aster réalisé avec un modèle 3D, disposant de 19268 éléments quadratiques (TETRA10) et de 29122 nœuds.

2.2. Résultats de référence

Valeurs des trois déplacements au centre de la section la plus éloignée de l’axe de rotation.

2.3. Incertitude sur la solution

Solution analytique pour les modélisations A, B, C et D.

Solution numérique (calcul Aster 3D) pour la modélisation E.