2. Solution de référence

2.1. Expressions analytiques

En partant de l’extrémité encastrée, l’expression du moment fléchissant est: \(M(x)=F(x-L)\)

La flèche à l’extrémité chargée de la poutre est \(f=\frac{{\mathit{FL}}^{3}}{{\mathit{EI}}_{{G}_{0}}}\) où \({I}_{{G}_{0}}\) est le moment quadratique calculé au barycentre de la section \({G}_{0}\) : \({I}_{{G}_{0}}={\int}_{S}{(y-{y}_{{G}_{0}})}^{2}\mathit{dS}\) .

La courbure en un point situé à une distance \(x\) de l’encastrement est \({\chi }_{s}(x)=-\frac{M(x)}{{\mathit{EI}}_{{G}_{0}}}\) . En raison de l’excentrement de l’axe de référence, l’allongement de la poutre (au niveau de cet axe) vaut:

\({ϵ}_{s}(x)=-\frac{{A}_{G}}{S}{\chi }_{s}(x)\) où \(S\) est l’aire de la section et \({A}_{G}\) le moment statique de la section par rapport à un axe passant par \(G\) : \({A}_{G}={\int}_{S}\mathit{zdS}\) .

La déformation d’un point de coordonnées \((x,y,z)\) est: \(ϵ={ϵ}_{s}(x)-{\chi }_{s}(x)z\) , et la contrainte au même point vaut: \(\sigma =Eϵ\)

2.2. Calcul des caractéristiques de la section droite

Afin d’éliminer l’incertitude du calcul numérique approché des caractéristiques géométrique de section droite (faible nombre de fibres), les valeurs utilisées dans la solution de référence sont calculées comme dans le calcul numérique :

\(S={\sum}_{\mathit{fibres}}{S}_{i}\) \({A}_{G}={\sum}_{\mathit{fibres}}{z}_{i}{S}_{i}\) \({I}_{G}={\sum}_{\mathit{fibres}}{z}_{i}^{2}{S}_{i}\) \({I}_{{G}_{0}}={\sum}_{\mathit{fibres}}{({z}_{i}-{z}_{{G}_{0}})}^{2}{S}_{i}\)

où \({z}_{i}\) est l’ordonnée du centre de la fibre \(i\) et \({S}_{i}\) l’aire de cette fibre.