1. Problème de référence

1.1. Géométrie

Représentation d’une sphère soumise à une pression interne.:

Caractéristiques:

Rayon de la surface moyenne	\(\mathrm{1}\)
Épaisseur	\(\mathrm{0.1}\)

L’objectif est d’appliquer une pression interne de manière à ce que la zone plastique s’arrête au niveau de la surface moyenne, c’est-à-dire au rayon \(r_c = 1\). Ce calcul repose sur une loi de comportement élasto-plastique parfaite, avec un critèrede plasticité de Von Mises, où la contrainte seuil est fixée à \(\sigma_y = 50000\).

En considérant que le rayon interne est \(a\) et le rayon externe est \(b\), l’expression de la pression interne, notée \(p\), permettant d’atteindre cette configuration est donnée par :

\[p = \frac{2}{3} \sigma_y \left[ 1 + 3 \ln\left( \frac{r_c}{a} \right) - \frac{r_c^3}{b^3} \right]\]

Le déplacement radial en un point situé à un rayon \(r\) dans la zone plastique est donné par :

\[u_r = \frac{\sigma_y}{E} \, r \left[ (1 - \nu) \frac{r_c^3}{r^3} - \frac{2}{3}(1 - 2\nu) \left( 1 + 3 \ln\left( \frac{r_c}{r} \right) - \frac{r_c^3}{b^3} \right) \right]\]

où \(E=1.e06\) est le module de Young, et \(\nu=0.3\) le coefficient de Poisson.

Pour la comparaison, on choisit un point \(A\) situé sur la demi-sphère 3D, de coordonnées \((0, 0, -0{,}95)\).