Problème de référence
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Géométrie
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Représentation d’une sphère soumise à une pression interne.:

.. image:: images/sphere_pression.png
    :width: 3.5in

    


.. _RefImage_sphere_pression.png:


Caractéristiques:


.. csv-table::

    "Rayon de la surface moyenne", ":math:`\mathrm{1}`"
    "Épaisseur", ":math:`\mathrm{0.1}`"


L’objectif est d’appliquer une pression interne de manière à ce que la zone plastique \
s’arrête au niveau de la surface moyenne, c’est-à-dire au rayon :math:`r_c = 1`.  
Ce calcul repose sur une loi de comportement élasto-plastique parfaite, avec un critère\
de plasticité de Von Mises, où la contrainte seuil est fixée à :math:`\sigma_y = 50000`.

En considérant que le rayon interne est :math:`a` et le rayon externe est :math:`b`,  
l’expression de la pression interne, notée :math:`p`, permettant d’atteindre cette configuration est donnée par :

.. math::

    p = \frac{2}{3} \sigma_y \left[ 1 + 3 \ln\left( \frac{r_c}{a} \right) - \frac{r_c^3}{b^3} \right]


Le déplacement radial en un point situé à un rayon :math:`r` dans la zone plastique est donné par :

.. math::

    u_r = \frac{\sigma_y}{E} \, r \left[ 
        (1 - \nu) \frac{r_c^3}{r^3} 
        - \frac{2}{3}(1 - 2\nu) 
        \left( 1 + 3 \ln\left( \frac{r_c}{r} \right) - \frac{r_c^3}{b^3} \right) 
    \right]

où :math:`E=1.e06` est le module de Young, et :math:`\nu=0.3` le coefficient de Poisson.

Pour la comparaison, on choisit un point :math:`A` situé sur la demi-sphère 3D, \
de coordonnées :math:`(0, 0, -0{,}95)`.