2. Solution de référence

2.1. Moment de torsion

Une solution analytique pour le moment de torsion se trouve facilement par un calcul de Résistance des Matériaux.

Soit la poutre \(\mathit{AB}\) de longueur \(L\) , encastrée en \(A\) , si on applique un moment de torsion \(\mathit{mt}\) en un point \(C\) de \([\mathit{AB}]\) alors le moment résultant en \(A\) est \(\mathit{mt}\) . La réaction selon le moment est donc \(-\mathit{mt}\) .

En appliquant un moment de torsion linéaire, réparti sur la poutre, égal à \({\mathit{mt}}_{A}\) en \(A\) et à \({\mathit{mt}}_{B}\) en \(B\) , on obtient la réaction en moment \({M}_{A}\) en \(A\) :

\({M}_{A}=-{\int}_{0}^{L}{\mathit{mt}}_{A}+\frac{({\mathit{mt}}_{B}-{\mathit{mt}}_{A})}{L}x\mathit{dx}\)

\({M}_{A}=-L\frac{({\mathit{mt}}_{A}+{\mathit{mt}}_{B})}{2}\)

2.2. Moment fléchissant

Les formulaires de Résistance des Matériaux fournissent des résultats de référence pour un moment selon \(Z\) appliqué au point \(C\) d’une poutre \(\mathit{AB}\) de longueur \(L\) encastrée en \(A\) et et en appui selon \(Y\) en \(B\) .

\({R}_{A}=-{R}_{B}=\frac{3\mathit{mfz}({L}^{2}-{b}^{2})}{{\mathrm{2L}}^{3}}\)

\({M}_{A}=\frac{\mathit{mfz}({L}^{2}-{\mathrm{3b}}^{2})}{{\mathrm{2L}}^{2}}\)

où \({R}_{A}\) est la réaction d’appui et \({M}_{A}\) le moment, en \(A\) .

En appliquant un moment fléchissant linéaire, réparti sur la poutre, égal à \({\mathit{mf}}_{A}\) en \(A\) et à \({\mathit{mf}}_{B}\) en \(B\) , on obtient:

\({R}_{A}=-{R}_{B}=\frac{3}{{\mathrm{2L}}^{3}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}({\mathit{mf}}_{A}+\frac{({\mathit{mf}}_{B}-{\mathit{mf}}_{A})}{L}x)({L}^{2}-{(L-x)}^{2})\mathit{dx}\)

\({M}_{A}=\frac{1}{{\mathrm{2L}}^{2}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}({\mathit{mf}}_{A}+\frac{({\mathit{mf}}_{B}-{\mathit{mf}}_{A})}{L}x)({L}^{2}-3{(L-x)}^{2})\mathit{dx}\)

Ce qui donne après intégration:

\({R}_{A}=-{R}_{B}=\frac{3{\mathit{mf}}_{A}+5{\mathit{mf}}_{B}}{8}\)

\({M}_{A}=L\frac{{\mathit{mf}}_{B}-{\mathit{mf}}_{A}}{8}\)

Remarque: Si on passe dans le plan \(\mathit{XOZ}\) avec l’application d’un moment selon \(Y\) , il faut multiplier les réactions par \(-1\) .

2.3. Incertitudes sur la solution

Aucune.