Solution de référence
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Moment de torsion
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Une solution analytique pour le moment de torsion se trouve facilement par un calcul de Résistance des Matériaux.

Soit la poutre :math:`\mathit{AB}` de longueur :math:`L` , encastrée en :math:`A` , si on applique un moment de torsion :math:`\mathit{mt}` en un point :math:`C` de :math:`[\mathit{AB}]` alors le moment résultant en :math:`A` est :math:`\mathit{mt}` . La réaction selon le moment est donc :math:`-\mathit{mt}` .

En appliquant un moment de torsion linéaire, réparti sur la poutre, égal à :math:`{\mathit{mt}}_{A}` en :math:`A` et à :math:`{\mathit{mt}}_{B}` en :math:`B` , on obtient la réaction en moment :math:`{M}_{A}` en :math:`A` :

:math:`{M}_{A}=-{\int}_{0}^{L}{\mathit{mt}}_{A}+\frac{({\mathit{mt}}_{B}-{\mathit{mt}}_{A})}{L}x\mathit{dx}`

:math:`{M}_{A}=-L\frac{({\mathit{mt}}_{A}+{\mathit{mt}}_{B})}{2}`


Moment fléchissant
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Les formulaires de Résistance des Matériaux fournissent des résultats de référence pour un moment selon :math:`Z` appliqué au point :math:`C` d'une poutre :math:`\mathit{AB}` de longueur :math:`L` encastrée en :math:`A` et et en appui selon :math:`Y` en :math:`B` .


.. image:: images/1000000000000248000000CF1D036B7855322E72.png
    :width: 4.5984in
    :height: 1.6299in


.. _RefImage_1000000000000248000000CF1D036B7855322E72.png:

:math:`{R}_{A}=-{R}_{B}=\frac{3\mathit{mfz}({L}^{2}-{b}^{2})}{{\mathrm{2L}}^{3}}`

:math:`{M}_{A}=\frac{\mathit{mfz}({L}^{2}-{\mathrm{3b}}^{2})}{{\mathrm{2L}}^{2}}`

où :math:`{R}_{A}` est la réaction d’appui et :math:`{M}_{A}` le moment, en :math:`A` .

En appliquant un moment fléchissant linéaire, réparti sur la poutre, égal à :math:`{\mathit{mf}}_{A}` en :math:`A` et à :math:`{\mathit{mf}}_{B}` en :math:`B` , on obtient:

:math:`{R}_{A}=-{R}_{B}=\frac{3}{{\mathrm{2L}}^{3}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}({\mathit{mf}}_{A}+\frac{({\mathit{mf}}_{B}-{\mathit{mf}}_{A})}{L}x)({L}^{2}-{(L-x)}^{2})\mathit{dx}`

:math:`{M}_{A}=\frac{1}{{\mathrm{2L}}^{2}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}({\mathit{mf}}_{A}+\frac{({\mathit{mf}}_{B}-{\mathit{mf}}_{A})}{L}x)({L}^{2}-3{(L-x)}^{2})\mathit{dx}`

Ce qui donne après intégration:

:math:`{R}_{A}=-{R}_{B}=\frac{3{\mathit{mf}}_{A}+5{\mathit{mf}}_{B}}{8}`

:math:`{M}_{A}=L\frac{{\mathit{mf}}_{B}-{\mathit{mf}}_{A}}{8}`

Remarque: Si on passe dans le plan :math:`\mathit{XOZ}` avec l'application d'un moment selon :math:`Y` , il faut multiplier les réactions par :math:`-1` .


Incertitudes sur la solution
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Aucune.