2. Solution de référence#
Les calculs de référence sont effectués à partir d’un simple calcul élastique en RdM.
2.1. Centre élastique#
En flexion simple, pour un comportement élastique, l’axe neutre passe par le centre élastique (barycentre des sections pondéré par les modules des matériaux):
\(C\) tel que \({\int}_{S}E\overrightarrow{\mathit{CM}}\mathit{dS}=\overrightarrow{0}\)
On détermine d’abord la position des centres de gravité du béton seul
et de l’acier seul
par rapport au point \(O\) .
\(\begin{array}{c}{y}_{{G}_{b}}=\frac{0.125\times 0.3\times 0.05-0.125\times 0.2\times 0.05}{0.2\times 0.05+0.1\times 0.2+0.3\times 0.05}=1.38888{10}^{-2}m\\ {y}_{{G}_{a}}=\frac{0.125\times 3-0.125\times 4}{3+4}=-1.78571{10}^{-2}m\\ {z}_{{G}_{a}}={z}_{{G}_{b}}=0m\end{array}\)
On peut ensuite déterminer la position par rapport à \(O\) du centre élastique \(C\) .
\(\overrightarrow{\mathit{OC}}=\frac{{E}_{a}{S}_{a}\overrightarrow{{\mathit{OG}}_{a}}+{E}_{b}{S}_{b}\overrightarrow{{\mathit{OG}}_{b}}}{{E}_{a}{S}_{a}+{E}_{b}{S}_{b}}\)
La section de béton \({S}_{b}\) est \(0,045{m}^{2}\) et la section d’acier \({S}_{a}\) est \({7.10}^{-4}{m}^{2}\) . Le module d’Young du béton est \({2.10}^{10}\mathit{MPa}\) et celui de l’acier \({21.10}^{10}\mathit{MPa}\) . On a donc
\(\begin{array}{c}{y}_{c}=\frac{2\times 0.045\times 1.38888-21\times 7{10}^{-4}\times 1.78571}{2\times 0.045+21\times 7{10}^{-4}}=0.94317{10}^{-2}m\\ {z}_{c}=0m\end{array}\)
2.2. Moments quadratiques#
Les moments quadratiques des sections rectangulaires de béton sont calculées par la formule suivante:
\(\frac{b{h}^{3}}{12}+b\times h\times {d}^{2}\)
Où, b représente la largeur, h la hauteur et d la distance du centre de gravité de la section par rapport à l’axe pour lequel on calcule le moment.
On obtient alors le moment quadratique de la section de béton par rapport à l’axe \(z\) passant par le centre élastique :
\(\begin{array}{cc}{I}_{\mathit{béton}}& =\frac{0.3\times {0.05}^{3}}{12}+(0.3\times 0.05)\cdot {(0.125-0.94317\cdot {10}^{-2})}^{2}+\frac{0.1\times {0.2}^{3}}{12}+(0.1\times 0.2)\cdot {(0.94317\cdot {10}^{-2})}^{2}\\ & +\frac{0.2\times {0.05}^{3}}{12}+(0.2\times 0.05)\cdot {(0.125+0.94317\cdot {10}^{-2})}^{2}=0.4547\cdot {10}^{-3}{m}^{4}\end{array}\)
Les inerties des aciers sont calculées par la formule suivante :
\(\frac{\pi {\phi }^{4}}{64}+S\times {d}^{2}\approx S\times {d}^{2}\)
Où, \(\phi\) représente le diamètre de l’acier, \(S\) la section d’acier et d la distance du centre de gravité de la section par rapport à l’axe pour lequel on calcule le moment. Le diamètre des aciers étant petit, on néglige le premier terme.
On obtient alors le moment quadratique des sections d’acier par rapport à l’axe \(z\) passant par le centre élastique :
\(3{10}^{-4}\times {(0.125-0.94317{10}^{-2})}^{2}+4{10}^{-4}\times {(0.125+0.94317{10}^{-2})}^{2}=0.1124{10}^{-4}{m}^{4}\)
Pour le section complète de la poutre, le moment quadratique pondéré par les modules d’Young des matériaux est:
\(\mathit{EI}=2{10}^{10}\times 0.4547{10}^{-3}+21{10}^{10}\times 0.1124{10}^{-4}=11.4544{10}^{6}\mathit{Pa}.{m}^{4}\)
2.3. Cas de charge 1#
Pour le cas de charge 1 (charge concentrée au milieu de la poutre), la flèche est calculée par la formule de RDM suivante :
\(f=\frac{F\times {l}^{3}}{48\mathit{EI}}\)
Ce qui donne la flèche :
\(f=\frac{10000\times {5}^{3}}{48\times 11.4544{10}^{6}}=2.2735{10}^{-3}m\)
On peut également calculer les efforts généralisés suivants:
l’effort tranchant au début de la poutre (partie gauche) vaut \(\frac{F}{2}=5000N\) ,
le moment fléchissant au milieu de la poutre vaut: \(\frac{F\times l}{4}=1.25{10}^{4}\mathit{N.m}\) .
2.4. Cas de charge 2#
Pour le cas de charge 2 (poids propre de la poutre), la flèche est calculée par la formule de résistance des matériaux suivante :
\(f=\frac{5\times p\times {l}^{4}}{384\mathit{EI}}\)
où \(p\) est la charge linéique due au poids des matériaux:
\(p=g({\rho}_{a}{S}_{a}+{\rho}_{b}{S}_{b})=9.8\times (2800\times 7{10}^{-4}+2400\times 0.045)=1111.9{\mathit{N.m}}^{-1}\)
Ce qui donne la flèche :
\(f=\frac{5\times 1111.9\times {5}^{4}}{384\times 11.4544{10}^{6}}=7.9{10}^{-4}m\)
2.5. Cas de charge 3#
Pour le cas de charge 3 (élévation homogène de température), la poutre étant isostatique et les coefficients de dilatation du béton et de l’acier étant identiques, la solution est simple:
Les contraintes et efforts généralisés sont nuls.
L’allongement de la poutre est: \(\Delta l=\alpha \times l\times \Delta T\)
Ce qui donne avec les valeurs de notre cas:
\(\Delta l={10}^{-5}\times 5\times 100=5.{10}^{-3}m\)