2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Modélisation A:

La solution est analytique. Elle est calculée dans le repère local.

soit :

\(U=(u,v,w,{\theta}_{x},{\theta}_{y},{\theta}_{z})\) le déplacement de la poutre et \(E=({\epsilon}_{x},{\chi }_{y},{\chi }_{z},{\gamma}_{xy},{\gamma}_{xz})\) la déformation généralisée.

Soit la solution :

\(u=\alpha x\) \(v=\gamma \frac{{x}^{2}}{2}\) \(w=-\beta \frac{{x}^{2}}{2}\) \({\theta}_{x}=0\) \({\theta}_{y}=\beta x\) \({\theta}_{z}=\gamma x\)

alors :

\({\epsilon}_{x}={u}_{,x}=\alpha\) \({\chi }_{y}={\theta}_{y,x}=\beta\) \({\chi }_{z}={\theta}_{z,x}=\gamma\) \({\gamma}_{xy}={v}_{,x}-{\theta}_{z}=0\) \({\gamma}_{xz}={w}_{,x}+{\theta}_{y}=0\)

Si on choisit \(\alpha ={\epsilon}_{X}(=0.001)\) , \(\beta ={\chi }_{y}^{0}(=0.002)\) , \(\gamma ={\chi }_{z}^{0}(=0.003)\) alors \(E-{E}_{\mathrm{init}}=0\) et les efforts sont nuls: l’équilibre est donc vérifié. Par ailleurs, la solution vérifie les conditions aux limites d’encastrement en \(A\) . C’est donc la solution du problème posé.

Modélisation B:

Les fonctions utilisées pour imposer les pré-déformations sont de type fonction «escalier» dépendant des coordonnées des nœuds des mailles. Pour obtenir la solution de référence, on affecte les valeurs des pré-déformations mailles par mailles.

Modélisation C:

Dans la modélisation C, les mailles de poutre sont dupliquées en mailles de barre.

Pour la validation des pré-déformations par valeur, un premier calcul est fait dans lequel les pré-déformations sont imposées sur les mailles de poutre, il sert de référence au second calcul dans lequel les pré-déformations sont imposées sur les mailles de barre.

Pour la validation des pré-déformations par fonction, la solution de référence est obtenue en affectant sur chaque maille la valeur de la fonction dépendant de la géométrie (coordonnées du point de Gauss).

2.2. Résultats de référence

Modélisation A:

Les résultats exprimés dans le repère local sont:

En \(B\) :

\(\mathrm{Dx}=0.10\mathrm{mm};\mathrm{Dy}=15.0\mathrm{mm};\mathrm{Dz}=–10.0\mathrm{mm};\mathrm{DRx}=0.0\mathrm{rd};\mathrm{DRy}=0.2\mathrm{rd};\mathrm{DRz}=0.30\mathrm{rd}\)

En \(C\) :

\(\mathrm{Dx}=0.05\mathrm{mm};\mathrm{Dy}=3.75\mathrm{mm};\mathrm{Dz}=–2.50\mathrm{mm};\mathrm{DRx}=0.0\mathrm{rd};\mathrm{DRy}=0.1\mathrm{rd};\mathrm{DRz}=0.15\mathrm{rd}\)

Dans le repère global, on trouve aux points \(B\) et \(C\) :

\(\begin{array}{}\mathrm{DX}(B)=\frac{\sqrt{3}}{30}+5\frac{\sqrt{3}}{6}(-3\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DY}(B)=\frac{\sqrt{3}}{30}+5\frac{\sqrt{3}}{6}(3\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DZ}(B)=\frac{\sqrt{3}}{30}+5\frac{\sqrt{3}}{6}(-4\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DRX}(B)=\frac{1}{20}(-\sqrt{6}-2\sqrt{2})[\mathrm{rd}]\\ \mathrm{DRY}(B)=\frac{1}{20}(-\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{rd}]\\ \mathrm{DRZ}(B)=\frac{1}{20}(2\sqrt{6})[\mathrm{rd}]\end{array}\) \(\begin{array}{}\mathrm{DX}(C)=\frac{\sqrt{3}}{60}+5\frac{\sqrt{3}}{24}(-3\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DY}(C)=\frac{\sqrt{3}}{60}+5\frac{\sqrt{3}}{24}(3\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DZ}(C)=\frac{\sqrt{3}}{60}+5\frac{\sqrt{3}}{24}(-4\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DRX}(C)=\frac{1}{40}(-\sqrt{6}-2\sqrt{2})[\mathrm{rd}]\\ \mathrm{DRY}(C)=\frac{1}{40}(-\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{rd}]\\ \mathrm{DRZ}(C)=\frac{1}{40}(2\sqrt{6})[\mathrm{rd}]\end{array}\)

Modélisation B et C:

Résultats provenant d’autres calculs effectués dans ce même test.

2.3. Incertitude sur la solution

Modélisation A:

La solution est exacte pour la théorie des poutres d’Euler (ou de Timoshenko car il n’y pas de cisaillement). La torsion n’intervenant pas, la solution est aussi valable pour les éléments POU_D_TG et POU_D_TGM.