2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Avec prise en compte du gauchissement, les calculs faits par V. De Ville De Goyet [bib1] donnent :
soit:
\({I}_{y}={\int}_{A}{z}^{2}\mathrm{dA}\) \({I}_{y}={\int}_{A}{y}^{2}\mathrm{dA}\) \({I}_{{\mathrm{yr}}^{2}}={\int}_{A}y({y}^{2}+{z}^{2})\mathrm{dA}\) \({I}_{{\mathrm{yr}}^{2}}={\int}_{A}z({y}^{2}+{z}^{2})\mathrm{dA}\)
\({P}_{\mathrm{cry}}=\frac{{\pi}^{2}E{I}_{z}}{{L}^{2}}\) \({P}_{\mathrm{crz}}=\frac{{\pi}^{2}E{I}_{y}}{{L}^{2}}\) \({P}_{\mathrm{crx}}=(\frac{GJ+{\pi}^{2}E{I}_{\omega}}{{L}^{2}}){\mathrm{Ar}}_{a}\)
\({\mathrm{Ar}}_{c}=\frac{({I}_{y}+{I}_{z})}{A}+{y}_{c}^{2}+{z}_{c}^{2}+{y}_{c}(\frac{{I}_{\mathrm{yrz}}}{\mathrm{Iz}}-2{y}_{c})+{z}_{c}(\frac{{I}_{{\mathrm{zr}}^{2}}}{\mathrm{Iz}}-2{z}_{c})\)
\({\mathrm{Ar}}_{a}=\frac{({I}_{y}+{I}_{z})}{A}+{y}_{c}^{2}+{z}_{c}^{2}+{y}_{a}(\frac{{I}_{\mathrm{yrz}}}{\mathrm{Iz}}-2{y}_{c})+{z}_{a}(\frac{{I}_{{\mathrm{zr}}^{2}}}{\mathrm{Iz}}-2{z}_{c})\)
avec:
\(({y}_{a},{z}_{a})\) : coordonnées du point d’application de l’effort
\(({y}_{c},{z}_{c})\) : coordonnées du centre de torsion
Cas 1, 2, 3:
On obtient 3 charges critiques en résolvant l’équation du 3° degré en \(P\) :
\({\mathrm{Ar}}_{a}({P}_{\mathrm{cry}}-P)({P}_{\mathrm{crz}}-P)({P}_{\mathrm{crx}}-P)-{P}^{2}({P}_{\mathrm{crz}}-P){({z}_{c}-{z}_{a})}^{2}-{P}^{2}({P}_{\mathrm{cry}}-P){({y}_{c}-{y}_{a})}^{2}=0\)
Cas 4 :
Le moment critique \(\mathrm{Mcr}\) (autour de l’axe \(y\) ) vaut:
\(\mathrm{Mcr}=\pm {((GJ+\frac{{\pi}^{2}E{I}_{\omega}}{{L}^{2}}){P}_{\mathrm{cry}})}^{1/2}\)
En négligeant le gauchissement : la solution analytique de référence est donnée dans [bib2] [bib3].
2.2. Résultats de référence#
Valeurs des charges critiques correspondant aux premiers modes de flambage pour les différents cas de charge.
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique. Les valeurs de référence sont obtenues à l’aide de \(\mathit{NAG}\) (routine \(\mathit{C0SAGF}\) , \(\mathit{EPS}={10}^{-8}\) ).
2.4. Références bibliographiques#
DE VILLE DE GOYET « Analyse statique non linéaire par la méthode des éléments finis des structures spatiales formées de poutres à section non symétrique » - Thèse de doctorat Université de Liège, MSM, année académique (1988-1989).
PENSERINI « Instabilité élastique des poutres à profil mince ouvert : aspects théoriques et numériques » Note EDF/DER/HM77/112.
CERISIER « Propagation de deux cas tests de modélisation du calcul des poutres en flambement élastique dans le Code_Aster « HM77/184