Solution de référence
=====================

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
--------------------------------------------------------

Avec prise en compte du gauchissement, les calculs faits par V. De Ville De Goyet [:ref:`bib1 <bib1>`] donnent :

soit:

:math:`{I}_{y}={\int}_{A}{z}^{2}\mathrm{dA}`     :math:`{I}_{y}={\int}_{A}{y}^{2}\mathrm{dA}`     :math:`{I}_{{\mathrm{yr}}^{2}}={\int}_{A}y({y}^{2}+{z}^{2})\mathrm{dA}`     :math:`{I}_{{\mathrm{yr}}^{2}}={\int}_{A}z({y}^{2}+{z}^{2})\mathrm{dA}`

:math:`{P}_{\mathrm{cry}}=\frac{{\pi}^{2}E{I}_{z}}{{L}^{2}}`     :math:`{P}_{\mathrm{crz}}=\frac{{\pi}^{2}E{I}_{y}}{{L}^{2}}`     :math:`{P}_{\mathrm{crx}}=(\frac{GJ+{\pi}^{2}E{I}_{\omega}}{{L}^{2}}){\mathrm{Ar}}_{a}`

:math:`{\mathrm{Ar}}_{c}=\frac{({I}_{y}+{I}_{z})}{A}+{y}_{c}^{2}+{z}_{c}^{2}+{y}_{c}(\frac{{I}_{\mathrm{yrz}}}{\mathrm{Iz}}-2{y}_{c})+{z}_{c}(\frac{{I}_{{\mathrm{zr}}^{2}}}{\mathrm{Iz}}-2{z}_{c})`

:math:`{\mathrm{Ar}}_{a}=\frac{({I}_{y}+{I}_{z})}{A}+{y}_{c}^{2}+{z}_{c}^{2}+{y}_{a}(\frac{{I}_{\mathrm{yrz}}}{\mathrm{Iz}}-2{y}_{c})+{z}_{a}(\frac{{I}_{{\mathrm{zr}}^{2}}}{\mathrm{Iz}}-2{z}_{c})`

avec:

:math:`({y}_{a},{z}_{a})` : coordonnées du point d'application de l'effort

:math:`({y}_{c},{z}_{c})` : coordonnées du centre de torsion

Cas 1, 2, 3:

On obtient 3 charges critiques en résolvant l'équation du 3° degré en :math:`P` :

:math:`{\mathrm{Ar}}_{a}({P}_{\mathrm{cry}}-P)({P}_{\mathrm{crz}}-P)({P}_{\mathrm{crx}}-P)-{P}^{2}({P}_{\mathrm{crz}}-P){({z}_{c}-{z}_{a})}^{2}-{P}^{2}({P}_{\mathrm{cry}}-P){({y}_{c}-{y}_{a})}^{2}=0`

Cas 4 :

Le moment critique :math:`\mathrm{Mcr}` (autour de l'axe :math:`y` ) vaut:

:math:`\mathrm{Mcr}=\pm {((GJ+\frac{{\pi}^{2}E{I}_{\omega}}{{L}^{2}}){P}_{\mathrm{cry}})}^{1/2}`

En négligeant le gauchissement : la solution analytique de référence est donnée dans [:ref:`bib2 <bib2>`] [:ref:`bib3 <bib3>`].


Résultats de référence
----------------------

Valeurs des charges critiques correspondant aux premiers modes de flambage pour les différents cas de charge.


Incertitude sur la solution
---------------------------

Solution analytique. Les valeurs de référence sont obtenues à l'aide de :math:`\mathit{NAG}` (routine :math:`\mathit{C0SAGF}` , :math:`\mathit{EPS}={10}^{-8}` ).


Références bibliographiques
---------------------------


1.  V. DE VILLE DE GOYET "Analyse statique non linéaire par la méthode des éléments finis des structures spatiales formées de poutres à section non symétrique" - Thèse de doctorat Université de Liège, MSM, année académique (1988-1989).


2.  P. PENSERINI "Instabilité élastique des poutres à profil mince ouvert : aspects théoriques et numériques" Note EDF/DER/HM77/112.


3.  J. CERISIER "Propagation de deux cas tests de modélisation du calcul des poutres en flambement élastique dans le *Code_Aster* " HM77/184