1. Problème de référence#
Ce cas test est inspiré du rapport cité en référence [bib1].
1.1. Géométrie#
Le bâtiment étudié est composé de 3 planchers et de 9 colonnes encastrées dans les planchers.
Section des colonnes \(A\) à \(I\) |
\(0.20m\times 0.40m\) |
Aire des colonnes \(A\) à \(I\) |
\(8.00{10}^{-2}{m}^{2}\) |
Inerties des colonnes \(A\) à \(I\) (dans le repère global) |
\(\mathrm{Ix}=2.667{10}^{-4}{m}^{4}\) |
\(\mathrm{Iy}=1.066{10}^{-3}{m}^{4}\) |
|
\(J=7.45{10}^{-4}{m}^{4}\) |
|
Coefficients de section réduite |
\(\mathrm{AY}=\mathrm{AZ}=1.2\) |
Épaisseur des planchers |
\(0.2m\) |
Fig. 1.1 Schéma du bâtiment#
1.2. Propriétés des matériaux#
Afin d’obtenir le centre de masse \(\mathrm{Cm}\) , excentré par rapport au centre géométrique de \(0,3071m\) , un matériau de densité \({\rho}_{2}=1,848{\rho}_{1}\) est affecté à \(1/4\) de la surface de chaque plancher (\(\mathrm{PLAN21}\) , \(\mathrm{PLAN22}\) et \(\mathrm{PLAN23}\) ).
Colonnes et parties \(\mathrm{PLAN11}\) , \(\mathrm{PLAN21}\) et \(\mathrm{PLAN31}\) des planchers:
Module de Young : |
\({E}_{1}=4,0E+10\mathrm{Pa}\) |
Coefficient de Poisson : |
\({\nu}_{1}=0,15\) |
Masse volumique : |
\({\rho}_{1}=2500\mathrm{kg}/{m}^{3}\) |
||
Parties \(\mathrm{PLAN12}\) , \(\mathrm{PLAN22}\) et \(\mathrm{PLAN32}\) des planchers:
Module de Young : |
\({E}_{2}=4,0E+10\mathrm{Pa}\) |
Coefficient de Poisson : |
\({\nu}_{2}=0,15\) |
Masse volumique : |
\({\rho}_{2}=4620\mathrm{kg}/{m}^{3}\) |
||
Fig. 1.2 Schéma du bâtiment.#
1.3. Conditions aux limites et chargement#
Condition aux limites
Les colonnes sont encastrées au niveau de la fondation.
Chargement
Le séisme est appliqué dans la direction \(x\) .
Le spectre de réponse d’oscillateurs en déplacement est obtenu par superposition de quatre spectres de déplacement. Chacun de ces spectres de déplacement correspond à la réponse d’un oscillateur à un degré de liberté aux excitations sinusoïdales définies dans le tableau ci dessous:
\(\mathrm{SD}(f,\xi )=\underset{i=1}{\overset{4}{\Sigma}}\frac{{K}_{i}}{4{\pi}^{2}{f}^{2}\sqrt{{(1-\frac{{f}_{i}^{2}}{{f}^{2}})}^{2}+4{\xi}^{2}\frac{{f}_{i}^{2}}{{f}^{2}}}}\)
En particulier, les fréquences et amortissements retenus sont proches des quatre premiers modes de la structure.
Fréquence \({f}_{i}(\mathrm{Hz})\) |
Amplitude \({K}_{i}(m)\) |
Amortissement \(\xi\) |
|
sinus 1 |
1.51 |
0.15 |
0.05 |
sinus 2 |
2.05 |
0.25 |
0.05 |
sinus 3 |
2.34 |
0.25 |
0.05 |
sinus 4 |
4.86 |
0.30 |
0.05 |
Les modes négligés sont représentés par un pseudo-mode.