2. Solution de référence#

2.1. Solution de référence#

D’après [bib1], les fréquences propres de vibration d’une plaque rectangulaire appuyée sur tous ses bords sont données par la formule analytique:

\({f}_{ij}=\frac{{\lambda}_{ij}^{2}}{2\pi {L}^{2}}{\left[\frac{E{h}^{3}}{12{\rho}_{s}(1-{\nu}^{2})}\right]}^{\frac{1}{2}}\)

avec

\({\lambda}_{ij}^{2}={\pi}^{2}\left[{i}^{2}+{\left(\frac{L}{l}\right)}^{2}{j}^{2}\right]\)

où

\(i\) et \(j\) sont le nombre de demi-ondes de la déformée modale le long du grand axe et du petit axe de la plaque. \({\rho}_{s}\) est la masse par unité de surface.

Soit

\(\begin{array}{c}{f}_{11}=17,13\mathit{Hz}\\ {f}_{21}=35,63\mathit{Hz}\\ {f}_{12}=50,01\mathit{Hz}\\ {f}_{31}=66,46\mathit{Hz}\\ {f}_{22}=68,51\mathit{Hz}\end{array}\) .

Les déformées modales sont également calculées analytiquement: le déplacement modal \({z}_{ij}\) perpendiculaire à la plaque, pour le mode \((i,j)\) , en fonction du point de coordonnées \((x,y)\) , est donné par:

\({z}_{ij}(x,y)=\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{j\pi y}{l}\right)\) .

2.2. Cas des calculs par sous-structuration : solution de référence de chaque sous-structure#

Chaque sous-structure est une plaque de longueur \(l=1,5m\) et de largeur \(\frac{L}{2}=1m\) , appuyée sur trois cotés et encastrée sur un côté long, vibrant en flexion.

On montre [bib1] que les fréquences propres valent :

\({f}_{ij}=\frac{{\lambda}_{ij}^{2}}{2\pi {l}^{2}}{\left[\frac{E{h}^{3}}{12{\rho}_{s}(1-{\nu}^{2})}\right]}^{\frac{1}{2}}\)

avec \({\lambda}_{11}^{2}=42,53\) , \({\lambda}_{21}^{2}=69,00\) , \({\lambda}_{31}^{2}=116,30\) , \({\lambda}_{12}^{2}=121,00\)

ce qui donne pour les premières fréquences :

\(\begin{array}{}{f}_{11}=47,26\mathrm{Hz}\\ {f}_{21}=76,57\mathrm{Hz}\\ {f}_{31}=129,24\mathrm{Hz}\\ {f}_{12}=134,47\mathrm{Hz}\end{array}\)

2.3. Référence bibliographique#

  1. BLEVINS R.D : Formulas for natural frequency and mode shape. Ed. Krieger 1984.