Solution de référence
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.. _RefNumPara__1525_1601233149:


Solution de référence
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D’après [:ref:`bib1 <bib1>`], les fréquences propres de vibration d’une plaque rectangulaire appuyée sur tous ses bords sont données par la formule analytique:

:math:`{f}_{ij}=\frac{{\lambda}_{ij}^{2}}{2\pi {L}^{2}}{\left[\frac{E{h}^{3}}{12{\rho}_{s}(1-{\nu}^{2})}\right]}^{\frac{1}{2}}`

avec

:math:`{\lambda}_{ij}^{2}={\pi}^{2}\left[{i}^{2}+{\left(\frac{L}{l}\right)}^{2}{j}^{2}\right]`

où

:math:`i` et :math:`j` sont le nombre de demi-ondes de la déformée modale le long du grand axe et du petit axe de la plaque. :math:`{\rho}_{s}` est la masse par unité de surface.

Soit

:math:`\begin{array}{c}{f}_{11}=17,13\mathit{Hz}\\ {f}_{21}=35,63\mathit{Hz}\\ {f}_{12}=50,01\mathit{Hz}\\ {f}_{31}=66,46\mathit{Hz}\\ {f}_{22}=68,51\mathit{Hz}\end{array}` .



Les déformées modales sont également calculées analytiquement: le déplacement modal :math:`{z}_{ij}` perpendiculaire à la plaque, pour le mode :math:`(i,j)` , en fonction du point de coordonnées :math:`(x,y)` , est donné par:

:math:`{z}_{ij}(x,y)=\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{j\pi y}{l}\right)` .


Cas des calculs par sous-structuration : solution de référence de chaque sous-structure
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Chaque sous-structure est une plaque de longueur :math:`l=1,5m` et de largeur :math:`\frac{L}{2}=1m` , appuyée sur trois cotés et encastrée sur un côté long, vibrant en flexion.

On montre [:ref:`bib1 <bib1>`] que les fréquences propres valent :

:math:`{f}_{ij}=\frac{{\lambda}_{ij}^{2}}{2\pi {l}^{2}}{\left[\frac{E{h}^{3}}{12{\rho}_{s}(1-{\nu}^{2})}\right]}^{\frac{1}{2}}`

avec :math:`{\lambda}_{11}^{2}=42,53` , :math:`{\lambda}_{21}^{2}=69,00` , :math:`{\lambda}_{31}^{2}=116,30` , :math:`{\lambda}_{12}^{2}=121,00`

ce qui donne pour les premières fréquences :

:math:`\begin{array}{}{f}_{11}=47,26\mathrm{Hz}\\ {f}_{21}=76,57\mathrm{Hz}\\ {f}_{31}=129,24\mathrm{Hz}\\ {f}_{12}=134,47\mathrm{Hz}\end{array}`


Référence bibliographique
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1.  BLEVINS R.D : Formulas for natural frequency and mode shape. Ed. Krieger 1984.