2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul#
La solution est calculée de manière mixte analytique et numérique.
La rigidité dynamique (complexe) de la poutre viscoélastique est calculée d’après [1] par l’équation:
\({\mathit{EI}}^{\text{*}}={E}_{1}{I}_{1}\left(1+{e}_{2}{h}_{2}^{3}+\frac{3{(1+{h}_{2})}^{2}({e}_{2}\times {h}_{2})}{1+{e}_{2}\times {h}_{2}}\right)\) (1)
La signification des termes de la formule est donnée dans la liste ci-dessous:
\({E}^{\text{*}}\) : module d’Young de la poutre viscoélastique
\(I\) : second moment d’inertie de la section transversale de la poutre viscoélastique
\({I}_{1}\) : second moment d’inertie de la section transversale du matériau de la couche n°1
\({E}_{j}^{\text{*}}\) : module d’Young du matériau de la couche n°j
\({e}_{2}\) : rapport des modules \({E}_{2}^{\text{*}}/{E}_{1}\) (l’amortissement du matériau n°1 est considéré comme négligeable)
\({H}_{j}\) : épaisseur du matériau de la couche n° j
\({h}_{2}\) : rapport des épaisseurs \({H}_{2}/{H}_{1}\)
Les amortissements \(\eta\) des modes complexes sont ensuite calculés comme le rapport de la partie imaginaire de la rigidité dynamique sur sa partie réelle :
\(\eta =\frac{\Im (\mathit{EI})}{\Re (\mathit{EI})}\) (2)
Enfin, les fréquences propres \({f}_{i}\) sont calculées d’après [2] par l’équation suivante :
\({f}_{i}=\frac{{\lambda}_{i}^{2}}{{\mathrm{2\pi L}}^{2}}\sqrt{\frac{\Re (\mathit{EI})}{m}}\) (3)
Avec \({\lambda}_{i}\) : coefficient modal (donné dans [2] ) associé à la fréquence propre \({f}_{i}\)
\(L\) : longueur de la poutre viscoélastique
\(m\) : masse linéique de la poutre viscoélastique
Pour prendre en compte la dépendance en fréquence des propriétés mécaniques du matériau viscoélastique, les amortissements et fréquences propres sont calculés par une méthode itérative.
2.2. Grandeurs et résultats de référence#
On teste les valeurs des fréquences propres et des amortissements de quelques modes complexes de la poutre viscoélastique.
2.3. Incertitudes sur la solution#
Solution numérique.
2.4. Références bibliographiques#
Nashif, D. I. G. Jones, J. P. Henderson, Vibration Damping . John Wiley and sons, 1985.
Robert D. BLEVINS PhD, Formulas for natural frequency and mode shape , §8.1.2 “Single-span beams”. Krieger publishing company, Malabar, 2001.