2. Solutions de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution analytique de ce problème est présentée ci-dessous.
Modes et fréquences de vibration:
Le système suivant caractérise la dynamique des masses:
\(\lbrace \begin{array}{}m\ddot{{x}_{1}}+\mathrm{2k}{x}_{1}-k{x}_{2}=0\\ m\ddot{{x}_{2}}+\mathrm{2k}{x}_{2}-k{x}_{1}=0\end{array}\) éq 2.1-1
Ce qui est équivalent au système suivant:
\(\lbrace \begin{array}{}m(\ddot{{x}_{1}}+\ddot{{x}_{2}})+k({x}_{1}+{x}_{2})=0\\ m(\ddot{{x}_{1}}-\ddot{{x}_{2}})+\mathrm{3k}({x}_{1}-{x}_{2})=0\end{array}\) éq 2.1-2
Les 2 fréquences propres du système sont donc données par:
\({\omega}_{1}=\sqrt{\frac{k}{m}}\) et \({\omega}_{2}=\sqrt{\frac{\mathrm{3k}}{m}}\) éq 2.1-3
et les déformations modales associées sont:
\({\Phi}_{1}=(\begin{array}{}1\\ 1\end{array})\) et \({\Phi}_{2}=(\begin{array}{}1\\ -1\end{array})\) éq 2.1-4
Les matrices généralisées sont:
\(\stackrel{ˉ}{M}={\Phi}^{T}M\Phi =(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array})(\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& m\end{array})(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array})=(\begin{array}{cc}\mathrm{2m}& 0\\ 0& \mathrm{2m}\end{array})\)
\(\stackrel{ˉ}{K}={\Phi}^{T}K\Phi =(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array})(\begin{array}{cc}\mathrm{2k}& -k\\ -k& \mathrm{2k}\end{array})(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array})=(\begin{array}{cc}\mathrm{2k}& 0\\ 0& \mathrm{6k}\end{array})\) éq 2.1-5
Réponse transitoire:
L’effort sinusoïdal est appliqué sur la première masse: \(F=(\begin{array}{}1\\ 0\end{array})\sin(\omega t)\)
Le système dynamique vérifié est le suivant:
\(M\ddot{X}+KX=F\) éq 2.1-6
En projetant sur la base des modes propres, nous obtenons:
\({\Phi}^{T}M\Phi \ddot{\eta}+{\Phi}^{T}K\Phi \eta ={\Phi}^{T}F\) éq 2.1-7
Soit:
\((\begin{array}{cc}\mathrm{2m}& 0\\ 0& \mathrm{2m}\end{array})(\begin{array}{}\ddot{{\eta}_{1}}\\ \ddot{{\eta}_{2}}\end{array})+(\begin{array}{cc}\mathrm{2k}& 0\\ 0& \mathrm{6k}\end{array})(\begin{array}{}{\eta}_{1}\\ {\eta}_{2}\end{array})=(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array})(\begin{array}{}1\\ 0\end{array})\sin(\omega t)\) éq 2.1-8
Nous aboutissons donc au système découplé suivant:
\(\lbrace \begin{array}{}m\ddot{{\eta}_{1}}+k{\eta}_{1}=\frac{1}{2}\sin(\omega t)\\ m\ddot{{\eta}_{2}}+3k{\eta}_{2}=\frac{1}{2}\sin(\omega t)\end{array}\) éq 2.1-9
La solution de ce système est donnée par:
\(\lbrace \begin{array}{}{\eta}_{1}(t)={A}_{1}\cos({\omega}_{1}t)+{B}_{1}\sin({\omega}_{1}t)+\frac{\sin(\omega t)}{\mathrm{2m}({\omega}_{1}^{2}-{\omega}^{2})}\\ {\eta}_{2}(t)={A}_{2}\cos({\omega}_{2}t)+{B}_{2}\sin({\omega}_{2}t)+\frac{\sin(\omega t)}{\mathrm{2m}({\omega}_{2}^{2}-{\omega}^{2})}\end{array}\) éq 2.1-10
Les déplacements dans l’espace physique sont obtenus par la formule de Ritz:
\(X=(\begin{array}{}{x}_{1}\\ {x}_{2}\end{array})=\Phi \eta =(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array})(\begin{array}{}{\eta}_{1}\\ {\eta}_{2}\end{array})=(\begin{array}{}{\eta}_{1}+{\eta}_{2}\\ {\eta}_{1}-{\eta}_{2}\end{array})\) éq 2.1-11
On en déduit les expressions de \({x}_{1}(t)\) et \({x}_{2}(t)\) :
\(\lbrace \begin{array}{}{x}_{1}(t)={A}_{1}\cos({\omega}_{1}t)+{B}_{1}\sin({\omega}_{1}t)+{A}_{2}\cos({\omega}_{2}t)+{B}_{2}\sin({\omega}_{2}t)+\frac{\sin(\omega t)}{\mathrm{2m}}(\frac{1}{{\omega}_{1}^{2}-{\omega}^{2}}+\frac{1}{{\omega}_{2}^{2}-{\omega}^{2}})\\ {x}_{2}(t)={A}_{1}\cos({\omega}_{1}t)+{B}_{1}\sin({\omega}_{1}t)-{A}_{2}\cos({\omega}_{2}t)+{B}_{2}\sin({\omega}_{2}t)+\frac{\sin(\omega t)}{\mathrm{2m}}(\frac{1}{{\omega}_{1}^{2}-{\omega}^{2}}-\frac{1}{{\omega}_{2}^{2}-{\omega}^{2}})\end{array}\)
éq 2.1-12
A l’instant initial, le système est au repos, d’où les expressions finales de \({x}_{1}(t)\) et \({x}_{2}(t)\) :
\(\lbrace \begin{array}{}{x}_{1}(t)=\frac{1}{\mathrm{2m}}\left[\frac{\sin(\omega t)-\frac{\omega}{{\omega}_{1}}\sin({\omega}_{1}t)}{{\omega}_{1}^{2}-{\omega}^{2}}+\frac{\sin(\omega t)-\frac{\omega}{{\omega}_{2}}\sin({\omega}_{2}t)}{{\omega}_{2}^{2}-{\omega}^{2}}\right]\\ {x}_{2}(t)=\frac{1}{\mathrm{2m}}\left[\frac{\sin(\omega t)-\frac{\omega}{{\omega}_{1}}\sin({\omega}_{1}t)}{{\omega}_{1}^{2}-{\omega}^{2}}-\frac{\sin(\omega t)-\frac{\omega}{{\omega}_{2}}\sin({\omega}_{2}t)}{{\omega}_{2}^{2}-{\omega}^{2}}\right]\end{array}\) éq 2.1-13
Les vitesses des deux masses sont calculées en dérivant les déplacements par rapport au temps:
\(\lbrace \begin{array}{}\dot{{x}_{1}}(t)=\frac{\omega}{\mathrm{2m}}\left[\frac{\cos(\omega t)-\cos({\omega}_{1}t)}{{\omega}_{1}^{2}-{\omega}^{2}}+\frac{\cos(\omega t)-\cos({\omega}_{2}t)}{{\omega}_{2}^{2}-{\omega}^{2}}\right]\\ \dot{{x}_{2}}(t)=\frac{\omega}{\mathrm{2m}}\left[\frac{\cos(\omega t)-\cos({\omega}_{1}t)}{{\omega}_{1}^{2}-{\omega}^{2}}-\frac{\cos(\omega t)-\cos({\omega}_{2}t)}{{\omega}_{2}^{2}-{\omega}^{2}}\right]\end{array}\) éq 2.1-14
Les accélérations des deux masses sont calculées en dérivant les vitesses par rapport au temps:
\(\lbrace \begin{array}{}\ddot{{x}_{1}}(t)=\frac{\omega}{\mathrm{2m}}\left[\frac{\omega \sin(\omega t)-{\omega}_{1}\sin({\omega}_{1}t)}{{\omega}_{1}^{2}-{\omega}^{2}}+\frac{\omega \sin(\omega t)-{\omega}_{2}\sin({\omega}_{2}t)}{{\omega}_{2}^{2}-{\omega}^{2}}\right]\\ \ddot{{x}_{2}}(t)=\frac{\omega}{\mathrm{2m}}\left[\frac{\omega \sin(\omega t)-{\omega}_{1}\sin({\omega}_{1}t)}{{\omega}_{1}^{2}-{\omega}^{2}}-\frac{\omega \sin(\omega t)-{\omega}_{2}\sin({\omega}_{2}t)}{{\omega}_{2}^{2}-{\omega}^{2}}\right]\end{array}\) éq 2.1-15
2.2. Résultats de référence#
La comparaison des résultats porte sur les déplacements, vitesses et accélérations suivant l’axe des deux masses, à cinq instants différents.
2.3. Incertitude sur la solution#
La solution de référence est exacte.
Le modèle discret représente parfaitement le problème posé (la base modale est complète ; il n’y a donc pas d’approximation liée à une éventuelle troncature modale). Le nombre de modes de la base de projection modale est égal au nombre de mesures, donc la solution de l’inversion est exacte (par opposition à une solution approchée d’un problème inverse généralisé). Si la recherche des nœuds en vis-à-vis est bonne, les déplacements obtenus après projection doivent être en parfaite adéquation avec les valeurs expérimentales. Les vitesses et accélérations sont déterminées par dérivation des contributions modales identifiées via un schéma d’approximation linéaire en temps, pouvant donc générer quelques erreurs.