1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

On calcule la réponse d’un système linéaire composé de deux masses et deux ressorts indépendants à une accélération imposée au niveau de leur point d’ancrage \({P}_{1}\) :

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On a une distance \({P}_{1}{P}_{2}={P}_{1}{P}_{3}=1m\) .

1.2. Propriétés des matériaux#

  • raideurs de liaison : \({k}_{1}=100N/m\) ;

  • masses ponctuelles : \(m=m({P}_{2})=m({P}_{3})=100\mathit{kg}\) .

  • amortissement modal de \(\text{5 \%}\) pour tous modes

1.3. Conditions aux limites et chargements#

Les inconnues de déplacement \(u\) , vitesse \(\dot{u}\) et accélérations \(\ddot{u}\) dont il est question dans ce document sont définies dans le repère relatif au mouvement d’entraînement.

Conditions aux limites

Les seuls déplacements autorisés sont les translations selon l’axe \(x\) .

Dans le repère relatif au déplacement imposé, le point \({P}_{1}\) est encastré : \({u}_{x}={u}_{y}={u}_{z}=0\) .

Chargement

Dans le repère global, le point d’ancrage \({P}_{1}\) est soumis à un déplacement imposé harmonique de fréquence \({f}_{\mathrm{ex}}\) . Le calcul est fait de \(0\) à \(20s\) dans le repère relatif associé.

1.4. Conditions initiales#

Le système est supposé initialement au repos dans le repère relatif: à \(t=0\) , \({u}_{x}(0)=0\) et \(\dot{{u}_{x}}(0)=0\) en tout point.