2. Solution de référence

2.1. Abscisse curviligne et déviation angulaire cumulée

Les câbles décrivent chacun une trajectoire en forme de demi-cercle dans un plan horizontal. En conséquence, l’abscisse curviligne \(s\) et la déviation angulaire cumulée \(\alpha\) s’expriment très simplement:

\(\left\{ \begin{array}{c}s={R}_{c}\theta \\ \alpha =\theta \end{array}\right.\)

où \({R}_{c}\) désigne le rayon du demi-cercle décrit par le câble, et \(\theta\) l’azimut en coordonnées cylindriques.

Les valeurs de référence pour les tests sont estimées à l’aide de ces expressions.

2.2. Effort normal dans les câbles

On considère un câble décrivant un demi-cercle horizontal de rayon \({R}_{c}\) . On note \({\theta}_{0}\) l’azimut repérant la fin de la zone où s’appliquent les pertes de tension par recul au premier ancrage; \(\pi -{\theta}_{0}\) repère le début de la zone où s’appliquent les pertes de tension par recul au second ancrage.

Compte tenu des expressions précédentes de l’abscisse curviligne et de la déviation angulaire cumulée, le profil de tension le long du câble peut être paramétré par l’azimut \(\theta\) , hors des zones où s’appliquent les pertes par recul aux ancrages:

\(F(\theta )=-{F}_{0}({x}_{\mathit{flu}}+{x}_{\mathit{ret}})\)

\(+{F}_{0}\left[1+r(j)\times \frac{5}{100}{\rho}_{1000}\times {\mu}_{0}\right]\exp(-(f+\varphi {R}_{c})\theta )\)

\(-{F}_{0}\times r(j)\times \frac{5}{100}{\rho}_{1000}\times \frac{{F}_{0}}{{S}_{a}{f}_{\mathit{prg}}}\times \exp(-2(f+\varphi {R}_{c})\theta )\) sur l’intervalle \(\left[{\theta}_{0};\frac{\pi}{2}\right]\)

\(F(\theta )=-{F}_{0}({x}_{\mathit{flu}}+{x}_{\mathit{ret}})\)

\(+{F}_{0}\left[1+r(j)\times \frac{5}{100}{\rho}_{1000}\times {\mu}_{0}\right]\exp(-(f+\varphi {R}_{c})(\pi -\theta ))\)

\(-{F}_{0}\times r(j)\times \frac{5}{100}{\rho}_{1000}\times \frac{{F}_{0}}{{S}_{a}{f}_{\mathit{prg}}}\times \exp(-2(f+\varphi {R}_{c})(\pi -\theta ))\) sur l’intervalle \(\left[\frac{\pi}{2};\pi -{\theta}_{0}\right]\)

Les valeurs de référence pour les tests sont estimées à l’aide de ces expressions, qui définissent un profil de tension symétrique par rapport au nœud central.

2.3. Indice de projection

La projection d’un nœud appartenant à l’un des câbles sur une maille du voile de béton donne lieu à l’affectation d’un indice de projection \(\mathit{IPROJ}\) conformément à la règle suivante:

Projection sur une maille triangle de nœuds sommets \(\mathit{N1}\) , \(\mathit{N2}\) et \(\mathit{N3}\) :

\(\mathit{IPROJ}=0\)	si le point projeté est à l’intérieur du triangle;
\(\mathit{IPROJ}=11,12\) ou \(13\)	si le point projeté appartient respectivement au bord \([\mathit{N1};\mathit{N2}]\) , \([\mathrm{N2};\mathrm{N3}]\) ou \([\mathrm{N3};\mathrm{N1}]\) ;
\(\mathit{IPROJ}=2\)	s’il y a coïncidence du point projeté avec un nœud sommet.

Projection sur une maille quadrangle de nœuds sommets \(\mathit{N1},\mathit{N2}\mathit{N3}\) et \(\mathrm{N4}\) :

\(\mathit{IPROJ}=0\)	si le point projeté est à l’intérieur du quadrangle;
\(\mathit{IPROJ}=11,12,13\) ou \(14\)	si le point projeté appartient respectivement au bord \([\mathrm{N1};\mathrm{N2}]\) , \([\mathrm{N2};\mathrm{N3}]\) , \([\mathrm{N3};\mathrm{N4}]\) ou \([\mathrm{N4};\mathrm{N1}]\) ;
\(\mathrm{IPROJ}=2\)	s’il y a coïncidence du point projeté avec un nœud sommet.

Les valeurs de référence pour les tests sont estimées en prédisant les lieux de projection des câbles, compte tenu de leur situation par rapport au voile et de la disposition des mailles sur celui-ci.

2.4. Excentricité

L’excentricité d’un nœud appartenant à l’un des câbles est définie comme la distance de ce nœud à la maille du voile de béton sur laquelle il se projette.

Vue dans un plan horizontal, la trace de la maille est une corde sur le demi-cercle de rayon \(R\) . On note \(\alpha\) le secteur angulaire couvert par la maille. Le nœud du câble, noté \(\mathit{NC}\) , est situé sur le demi-cercle de rayon \({R}_{c}\) . Sa position relative par rapport à la maille est repérée par l’azimut \(\beta\) .

Le vecteur \((\cos\frac{\alpha}{2};\sin\frac{\alpha}{2})\) est normal à la corde, qui passe par le point \((R;0)\) .

L’équation de la corde est donc \(\cos\frac{\alpha}{2}x+\sin\frac{\alpha}{2}y-R\cos\frac{\alpha}{2}=0\)

La distance d’un point à une droite, dans le plan, est donnée par:

\(d=\frac{∣a{x}_{0}+b{x}_{0}+c∣}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}\)

où \(({x}_{\mathrm{0 }};{y}_{0})\) sont les coordonnées du point et \(\mathit{ax}+\mathit{by}+c=0\) est l’équation de la droite.

Le nœud \(\mathit{NC}\) appartenant au câble a pour coordonnées \(({R}_{c}\cos\beta ;{R}_{c}\sin\beta )\) . Son excentricité par rapport à la maille du voile sur laquelle il se projette vaut donc:

\({\mathit{ex}}_{c}=∣{R}_{c}\cos(\frac{\alpha}{2}-\beta )-R\cos\frac{\alpha}{2}∣\)

Les valeurs de référence pour les tests sont estimées à l’aide de cette expression.