1. Problème de référence#
1.1. Géométrie#
Le voile de béton a une forme demi-cylindrique: la hauteur est \(H=10m\) et le rayon moyen vaut \(R=\mathrm{10 }m\) .
L’épaisseur du voile vaut \(e=0,6m\) . Le «rayon moyen équivalent», au sens du BPEL sur la section verticale du voile vaut donc \({r}_{m}=0,283m\) , sachant que:
\({r}_{m}=\frac{\mathit{eH}}{2(e+H)}\) (référence BPEL 2.1,5)
Les câbles décrivent chacun un demi-cercle dans un plan horizontal, et parcourent ainsi le voile sur sa longueur. Les cotes des plans contenant les câbles sont:
pour le câble n°1: \({z}_{1}=1m\) ;
pour le câble n°2: \({z}_{2}=3,5m\) ;
pour le câble n°3: \({z}_{3}=6m\) ;
pour le câble n°4: \({z}_{4}=8,5m\) .
Les câbles 3 et 4 présentent une excentricité par rapport au rayon moyen du voile, valant respectivement:
\({\mathrm{ex}}_{3}=0,05m\) ;
\({\mathrm{ex}}_{4}=0,1m\) .
L’aire de la section droite de chacun des câbles vaut \({S}_{a}=1,5{.10}^{-4}{m}^{2}\) .
1.2. Propriétés des matériaux#
1.2.1. Matériau béton constituant le voile#
Propriétés élastiques:
Module d’Young |
\({E}_{b}={3.10}^{10}\mathrm{Pa}\) |
Coefficient de Poisson |
\({\nu}_{b}=0,2\) |
Paramètres caractéristiques pour estimation des pertes de tension:
Taux forfaitaire de perte de tension par fluage du béton |
\({x}_{\mathrm{flu}}=0,07\) |
Taux forfaitaire de perte de tension par retrait du béton |
\({x}_{\mathrm{ret}}=0,08\) |
1.2.2. Matériau acier constituant les câbles#
Propriétés élastiques:
Module d’Young |
\({E}_{a}=2,1{.10}^{11}\mathrm{Pa}\) |
Coefficient de Poisson |
\({\nu}_{a}=0,3\) |
Paramètres caractéristiques pour estimation des pertes de tension: |
|
Relaxation de l’acier à 1000 heures |
\({\rho}_{1000}=2\text{\%}\) |
Coefficient adimensionnel de relaxation de l’acier précontraint |
\({\mu}_{0}=0,3\) |
Contrainte limite élastique de l’acier |
\({f}_{\mathit{prg}}=1,77{.10}^{9}\mathit{Pa}\) |
Coefficient de frottement en courbe |
\(f=0,2{\mathrm{rad}}^{-1}\) |
Coefficient de perte de tension par unité de longueur |
\(\varphi ={3.10}^{-3}{m}^{-1}\) |
1.3. Chargement#
On applique aux deux extrémités de chaque câble un effort normal de traction. La valeur de la tension appliquée est \({F}_{0}={2.10}^{5}N\) .
Pour évaluer les pertes de tension par relaxation des câbles dans le temps, on utilise les relations suivantes:
\(\Delta {\sigma}_{\mathit{pj}}=\Delta {\sigma}_{p}(x)r(j)\) |
(référence BPEL 3.3,24) |
\(\Delta {\sigma}_{p}=\frac{6}{100}{\rho}_{1000}(\frac{{\sigma}_{pi}(x)}{{f}_{\mathit{prg}}}-{\mu}_{0}){\sigma}_{pi}(x)\) |
(référence BPEL 3.3,23) |
\(r(j)=\frac{j}{j+9\times {r}_{m}}\) |
( référence BPEL 3.3,24 et 2.1,51) |
\({\sigma}_{pi}(x)\) |
appelé tension initiale, la tension au point d’abscisse \(x\) , après pertes de tension instantanées. |
\(j\) |
instant d’évaluation, en jour |
\({r}_{m}\) |
rayon moyen équivalent, en \(\mathit{cm}\) |
Les caractéristiques sont évaluées au jour \(j=10\) .
Pour évaluer les pertes de tension au voisinage des ancrages, on tient compte d’un recul aux ancrages \(\Delta ={5.10}^{-4}m\) .
Note:
Ce problème fait abstraction de la résolution de l’équilibre de la structure complète acier-béton et se limite à la détermination selon le BPEL de la précontrainte dans les câbles.