3. Rappels

3.1. Problème d’optimisation associé à une fonctionnelle énergétique

Cet opérateur résout le problème suivant :

Trouver le triplet de champs admissibles \((u,v,w)\text{}\) qui minimisent la fonctionnelle:

\({e}_{\omega}^{2}(u,v,w)=\frac{\gamma}{2}{(u-v)}^{T}[K](u-v)+\frac{1-\gamma }{2}{(u-w)}^{T}{\omega}^{2}[M](u-w)+\frac{1-\alpha }{\alpha}{(\mathit{Hu}-\widehat{u})}^{T}\text{}[\mathit{Gr}](\mathit{Hu}-\widehat{u})\)

sous la contrainte:

\(\left[K\right]v-{\omega}^{2}\left[M\right]\text{w=}0\)

Où :

\(K\) représente une matrice de rigidité réelle

\(M\) représente une matrice de masse

\(H\) représente une matrice d’observation

\(\mathit{Gr}\) représente une matrice symétrique définie positive servant de norme des erreurs dans l’espace d’observation

\(\omega =2\pi f\) : pulsation d’excitation

\(\widehat{u}\) observation des déplacements à la pulsation \(\omega\)

\(\gamma\) paramètre de pondération des erreurs \((u-v)\) et \((u-w)\)

\(\alpha\) paramètre de pondération de la fonctionnelle assimilable à un terme de régularisation

3.2. Équations de résolution du problème

L’obtention du triplet \((u,v,w)\text{}\) associé au problème sous contrainte plus haut amène, à chaque fréquence considérée, à la résolution du système d’équations linéaire suivant:

\(Al=b\)

avec, pour chaque pulsation propre \({\omega}_{i}\) :

\({A}_{i}=\left(\begin{array}{cc}\gamma \left(\text{K+γ}/\left(1-\gamma \right){\omega}_{i}^{2}M\right)& -\gamma \left(K-{\omega}_{i}^{2}M\right)\\ -\gamma \left(K-{\omega}_{i}^{2}M\right)& \left(-\text{2α}/\left(1-\alpha \right)\right){H}^{T}{G}_{r}H\end{array}\right)\) ; et \({b}_{i}=\left(\begin{array}{c}{0}_{n}\\ \left(-\text{2α}/\left(1-\alpha \right)\right){H}^{T}{G}_{r}{\widehat{u}}_{i}\end{array}\right)\)

Pour davantage de détails sur la formulation, on se reportera au document [R4.10.07].