Rappels ======= Problème d'optimisation associé à une fonctionnelle énergétique --------------------------------------------------------------- Cet opérateur résout le problème suivant : Trouver le triplet de champs admissibles :math:`(u,v,w)\text{}` qui minimisent la fonctionnelle: :math:`{e}_{\omega}^{2}(u,v,w)=\frac{\gamma}{2}{(u-v)}^{T}[K](u-v)+\frac{1-\gamma }{2}{(u-w)}^{T}{\omega}^{2}[M](u-w)+\frac{1-\alpha }{\alpha}{(\mathit{Hu}-\widehat{u})}^{T}\text{}[\mathit{Gr}](\mathit{Hu}-\widehat{u})` sous la contrainte: :math:`\left[K\right]v-{\omega}^{2}\left[M\right]\text{w=}0` Où : :math:`K` représente une matrice de rigidité réelle :math:`M` représente une matrice de masse :math:`H` représente une matrice d'observation :math:`\mathit{Gr}` représente une matrice symétrique définie positive servant de norme des erreurs dans l'espace d'observation :math:`\omega =2\pi f` : pulsation d'excitation :math:`\widehat{u}` observation des déplacements à la pulsation :math:`\omega` :math:`\gamma` paramètre de pondération des erreurs :math:`(u-v)` et :math:`(u-w)` :math:`\alpha` paramètre de pondération de la fonctionnelle assimilable à un terme de régularisation Équations de résolution du problème ----------------------------------- L'obtention du triplet :math:`(u,v,w)\text{}` associé au problème sous contrainte plus haut amène, à chaque fréquence considérée, à la résolution du système d'équations linéaire suivant: :math:`Al=b` avec, pour chaque pulsation propre :math:`{\omega}_{i}` : :math:`{A}_{i}=\left(\begin{array}{cc}\gamma \left(\text{K+γ}/\left(1-\gamma \right){\omega}_{i}^{2}M\right)& -\gamma \left(K-{\omega}_{i}^{2}M\right)\\ -\gamma \left(K-{\omega}_{i}^{2}M\right)& \left(-\text{2α}/\left(1-\alpha \right)\right){H}^{T}{G}_{r}H\end{array}\right)` ; et :math:`{b}_{i}=\left(\begin{array}{c}{0}_{n}\\ \left(-\text{2α}/\left(1-\alpha \right)\right){H}^{T}{G}_{r}{\widehat{u}}_{i}\end{array}\right)` Pour davantage de détails sur la formulation, on se reportera au document [:external:ref:`R4.10.07 `].