3. Modélisation, chargements#

Pour affecter les éléments finis axisymétriques Fourier sur le maillage, on utilise l’opérateur AFFE_MODELE de la façon suivante:

mo = AFFE_MODELE    (    MAILLAGE = ma,

AFFE= _F ( TOUT= “OUI”, PHENOMENE= “MECANIQUE’ou’THERMIQUE”, MODELISATION= “AXIS_FOURIER” ) );

La décomposition en séries de Fourier du chargement doit avoir été faite au préalable par l’utilisateur

soit \(f=\sum_{l=0}^{N}\left[(\begin{array}{ccc}\cos l\theta & & 0\\ & \cos l\theta & \\ 0& & -\sin l\theta \end{array}){F}_{l}^{s}(r,z)+(\begin{array}{ccc}\sin l\theta & & 0\\ & \sin l\theta & \\ 0& & \cos l\theta \end{array}){F}_{l}^{a}(r,z)\right]\)

avec \({F}_{l}^{s(a)}=({f}_{rl}^{\mathrm{ss}(a)},{f}_{zl}^{s(a)},{f}_{\theta l}^{s(a)})\)

Les charges \({F}_{l}^{s}\) et \({F}_{l}^{a}\) sont introduites harmonique par harmonique et type par type par l’opérateur AFFE_CHAR_MECA. On ne précise pas le mode ni le type à ce niveau.

Exemple: on suppose un chargement en pression répartie mode 1 symétrique et en torsion pure (mode 0 antisymétrique).

On écrira:

ch1sym = AFFE_CHAR_MECA(Modele = mo,
                        PRES_REP = _F(
                    GROUP_MA = 'grma',
                    PRES = p))

ch0anti = AFFE_CHAR_MECA(Modele = mo,
                         FORCE_NODALE = _F(
                           FZ = f,
                           NOEUD = 'N1))

Les conditions aux limites de type Dirichlet seront introduites dans une charge à part :

chdir = AFFE_CHAR_MECA(Modele= mo,
                       DDL_IMPO = _F(GROUP_NO = 'grno',
                       DX = 0., DY = 0., DZ = 0.,))

Les chargements admissibles par les éléments de Fourier sont:

en élasticité:

Eléments	Nature du chargement	Mot-clé AFFE_CHAR_MECA
TRIA3 - TRIA6 QUAD4 - QUAD8 - QUAD9	Forces de volume Rotation Pesanteur Forces ponctuelles	FORCE_INTERNE ROTATION PESANTEUR FORCE_NODALE
SEG2 - SEG3	Pression Forces surfaciques	PRES_REP FORCE_CONTOUR

en thermique:

Eléments	Nature du chargement	Mot-clé AFFE_CHAR_THER
Surface	Source de chaleur	SOURCE
Bord	Flux normal imposé Echange	FLUX_REP ECHANGE

3.1. Cas particulier de la pesanteur#

On considère le cylindre ci-dessous dont la partie hachurée correspond à la partie maillée sur laquelle on effectue un calcul axisymétrique Fourier (plan \(\mathrm{rZ}\) ).

Ce cylindre est soumis à son poids propre \(P\) dirigé suivant l’axe \(-\text{OX}\) .

\(\theta\)

Le chargement à appliquer ici est \(\overrightarrow{P}=({P}_{r},{P}_{z},{P}_{\theta})\)

\(\theta =0\)

\(\theta\)

Avec \({P}_{r}=-g\cos\theta\) \({P}_{z}=0\) \({P}_{\theta}=g\sin\theta\)

\(\theta =\frac{3}{2}\pi\)

On vérifie que pour toute valeur de \(\theta\) on a bien un chargement r d’amplitude \(g>0\) dirigé vers le bas.

Le chargement voulu est donc \(g(-1,0,-1)\) suivant la décomposition en mode de Fourier (harmonique symétrique et développement en série cosinus pour la composante radiale). \(\theta =\pi\)

\(\theta\)

Attention, la direction est sous l’hypothèse que \(P\) est dirigée suivant l’axe

\(-\text{OX}\) . Pour une autre orientation de \(P\) , il faut adapter le calcul. r

\(X(r)\)

\(Y(Z)\)

\(Z(\theta )\)

\(\overrightarrow{P}\)

Néanmoins, le vecteur direction du chargement étant normé dans AFFE_CHAR_MECA,il faut multiplier par cette norme pour obtenir le chargement voulu.

Le chargement à introduire dans AFFE_CHAR_MECA derrière le mot-clé PESANTEURest donc \(\sqrt{2}g(-1,0,-1)\) .

Dans MACRO_ELAS_MULT, ce chargement sera affecté à l’harmonique 1 symétrique (développement en série cosinus pour la composante radiale).